2ος κανόνας του Kirchhoff: Σοβαρή παράλειψη

Ανδρέας Βαλαδάκης

Γιατί μας ενδιαφέρει: Στο σχολικό βιβλίο, Φυσική Β΄ Λυκείου, Γενικής Παιδείας σχετικά με το 2ο κανόνα του Kirchhoff παρουσιάζονται ασύνδετα μεταξύ τους τα εξής: μια σειρά ενδείξεις βολτομέτρων, μια αόριστη αναφορά στη διατήρηση της ενέργειας και μια συνταγή με πηγές και αντιστάσεις. Το αποτέλεσμα δεν είναι κατανόηση αλλά σύγχυση, την οποία ο μαθητής καλείται να καλύψει με αποστήθιση. Όμως η απόδειξη του κανόνα δίνει στο μαθητή την ευκαιρία να εξασκήσει τις βασικές γνώσεις του και να καταλάβει πραγματικά γιατί ο κανόνας ισχύει.

Απόδειξη του 2ου κανόνα του Kirchhoff

Για το κύκλωμα που φαίνεται στην Εικόνα χρησιμοποιώντας μόνο τις βασικές γνώσεις:

έργο δύναμης ηλεκτροστατικού πεδίου,
ορισμός της ΗΕΔ,
νόμος του Ohm,

να αποδείξετε ότι ισχύει:

$\boxed{E_1-I_1R_1-I_3R_3=0}$

Απάντηση

Ποια είναι η κύρια ιδέα της απόδειξης;

Παίρνουμε ένα μικρό θετικό φορτίο q και το μεταφέρουμε νοητά κατά μήκος του βρόχου ΑΒΓΑ, περνώντας μέσα από την πηγή $E_1$ και τους αντιστάτες $R_1$ και $R_3$ .

Στο εσωτερικό των πηγών και των αντιστατών υπάρχει ηλεκτροστατικό πεδίο που ασκεί δύναμη στο φορτίο q. Επειδή το έργο ηλεκτροστατικής δύναμης κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδενικό ισχύει:

$W_{AB}+W_{R_1}+W_{R_3}=0\,\,\,\,(1)$

όπου $W_{AB}$ είναι το έργο της δύναμης στο εσωτερικό της πηγής $E_1$ , $W_{R_1}$ είναι το έργο της δύναμης στο εσωτερικό του αντιστάτη $R_1$ και $W_{R_3}$ είναι το έργο της δύναμης στο εσωτερικό του αντιστάτη $R_3$ .

Ποιες δυνάμεις ασκούνται στο φορτίο μέσα στην πηγή;

Στο εσωτερικό της πηγής, εκτός από την ηλεκτροστατική δύναμη, στο φορτίο ασκείται μια δύναμη χημικής προέλευσης. Επειδή το ρεύμα είναι σταθερό, αυτή η δύναμη είναι αντίθετη από την ηλεκτροστατική. Άρα για το έργο της ηλεκτροστατικής δύναμης και για το έργο $W_{\chi}$ της “χημικής” δύναμης ισχύει:

$W_{AB}=-W_\chi\,\,\,\,(2)$

Πόσο είναι το έργο της “χημικής” δύναμης;

Η ηλεκτρεγερτική δύναμη μιας πηγής εκφράζει την ενέργεια ανά μονάδα ηλεκτρικού φορτίου που προσφέρει η πηγή στο κύκλωμα. Άρα

$E_1= \frac{W_\chi}{q}\Rightarrow W_\chi=q\,E_1\,\,\,\,(3)$

Από τη (2) και την (3) προκύπτει:

$W_{AB}=-q\,E_1\,\,\,\,(4)$

Πόσο είναι το έργο $W_{R_1}$ και $W_{R_3}$ στους αντιστάτες;

Επειδή το ρεύμα κατευθύνεται από το Α στο Β, η ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου στο εσωτερικό του αντιστάτη $R_1$ κατευθύνεται από το Α στο Β. Έτσι από το νόμο του Ohm προκύπτει:

$W_{R_1} =+q\,I_1R_1\,\,\,\,(5)$