Από τη σύνθεση ταλαντώσεων στη συμβολή κυμάτων

Γιατί μας ενδιαφέρει: Συνήθως η συμβολή των κυμάτων παρουσιάζεται ανεξάρτητα από τη σύνθεση των ταλαντώσεων. Ωστόσο πρόκειται για το ίδιο φαινόμενο. Πώς προκύπτει το πλάτος της συμβολής δύο κυμάτων από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων;

Στο Σχήμα φαίνεται η επιφάνεια νερού στην οποία διαδίδονται ταυτόχρονα κύματα που προέρχονται από τις πηγές Α και Β. Ένα σημείο Σ απέχει από αυτές $r_1$ και $r_2$ αντίστοιχα. Μια τυχαία χρονική στιγμή t η απομάκρυνση του Σ είναι $y_1 =A\, \eta \mu (\omega t-2\pi \frac{r_1}{\lambda})$ λόγω του πρώτου κύματος και $y_2 =A\, \eta \mu (\omega t-2\pi \frac{r_2}{\lambda})$ λόγω του δεύτερου. Να αποδείξετε ότι από τη σύνθεση των δύο ταλαντώσεων προκύπτει ότι το πλάτος της ταλάντωσης του Σ είναι: $A' = 2A \sigma \upsilon \nu (2\pi \frac{r_1-r_2}{2\lambda})$ .

Απάντηση:

Από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων προκύπτει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος $A' =\sqrt{A^2_1+A^2_2+2A_1A_2\, \sigma \upsilon \nu\, \phi}$ $%$ (1), όπου $A_1$ και $A_2$ είναι το πλάτος των δύο αρχικών ταλαντώσεων αντίστοιχα και $\phi$ η διαφορά φάσης μεταξύ τους.

Επειδή η κίνηση του Σ προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων με απομακρύνσεις $y_1 =A\, \eta \mu (\omega t-2\pi \frac{r_1}{\lambda})$ και $y_2 =A\, \eta \mu (\omega t-2\pi \frac{r_2}{\lambda})$ αντίστοιχα, προκύπτει: $A_1=A_2=A$ $%$ (2) και $\phi = \omega t-2\pi \frac{r_2}{\lambda} - (\omega t-2\pi \frac{r_1}{\lambda}) \Rightarrow$ $\phi = 2\pi \frac{r_1-r_2}{\lambda}$ $%$ (3)

Από την (1) και τη (2) προκύπτει: $A' =\sqrt{A^2+A^2+2AA\, \sigma \upsilon \nu\, \phi} \Rightarrow$ $A' =A\sqrt{2(1+ \sigma \upsilon \nu \phi)}$ $%$ (4).

Επειδή $\sigma \upsilon \nu \phi= 2\sigma \upsilon \nu^2 \frac{\phi}{2}-1 \Rightarrow$ $1+ \sigma \upsilon \nu \phi= 2\sigma \upsilon \nu^2 \frac{\phi}{2}$ από την (4) προκύπτει: $A' =A\sqrt{4\sigma \upsilon \nu^2 \frac{\phi}{2}} \Rightarrow$ $A' =2A\sigma \upsilon \nu \frac{\phi}{2}$