Το πλάτος στο συντονισμό

Γιατί μας ενδιαφέρει: Όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, πόσο γίνεται το πλάτος της ταλάντωσης;

Σώμα μάζας $m$ συνδεδεμένο με ελατήριο εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Στο σώμα ασκείται η δύναμη του ελατηρίου $F_{\epsilon \lambda} =-m\omega^2_0 x$ , η δύναμη απόσβεσης $F_{\alpha \pi}=-bv$ και η δύναμη του διεγέρτη $F_{\delta} = F_0\, \eta \mu\, (\omega_{\delta} t)$ . Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα ο διεγέρτης επιβάλλει πρακτικά τη συχνότητά του στον ταλαντωτή και η κίνηση του ταλαντωτή έχει τη μορφή απλής αρμονικής ταλάντωσης, δηλαδή ισχύει: $\sum F = -m\omega^2_{\delta}x$ . Να αποδείξετε ότι όταν $\omega_{\delta}=\omega_0$ , το πλάτος της ταλάντωσης είναι: $\frac{F_0}{b\omega_0}$ .

Απάντηση

Με λίγα λόγια: Επειδή η κίνηση του σώματος έχει τη μορφή απλής αρμονικής ταλάντωσης με γωνιακή συχνότητα $\omega_{\delta}$ , για τη συνισταμένη δύναμη ισχύει: $\sum F= -m\omega_{\delta}x$ . Σε αυτή τη σχέση θέτουμε $\omega_{\delta}=\omega_0$ και από τη δύναμη απόσβεσης $-bv$ βρίσκουμε την ταχύτητα της ταλάντωσης. Από την ταχύτητα βρίσκουμε το πλάτος της ταλάντωσης.

Αναλυτικά

Στην περίπτωση που εξετάζουμε ισχύει: $\sum F = -m\omega^2_{\delta}x$ $%$ (1).

Επειδή στο σώμα ασκείται η δύναμη του ελατηρίου $F_{\epsilon \lambda} =-m\omega^2_0 x$ , η δύναμη απόσβεσης $F_{\alpha \pi}=-bv$ και η δύναμη του διεγέρτη $F_{\delta} = F_0\, \eta \mu\, (\omega_{\delta} t)$ , από την (1) προκύπτει: $-m\omega^2_0 x -bv + F_0\, \eta \mu (\omega_{\delta}t) = -m\omega^2_{\delta}x$ .

Όταν $\omega_{\delta}=\omega_0$ η προηγούμενη σχέση γίνεται: $bv = F_0\, \eta \mu (\omega_{\delta}t) \Rightarrow$ $v = \frac{F_0}{b}\, \eta \mu (\omega_{\delta}t) \Rightarrow$ $v = \frac{F_0}{b}\, \sigma \upsilon \nu (\omega_{\delta}t+ \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow$ $v_{max} = \frac{F_0}{b}$ $%$ (2).