Σώμα εκτοξεύεται κατά μήκος οριζόντιου δαπέδου. Στο σώμα ασκείται από το δάπεδο τριβή Τ, το σώμα μετατοπίζεται κατά Δx και τελικά σταματά. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας αυξάνεται η θερμοκρασία του σώματος και του δαπέδου και γι’ αυτό θερμότητα μεταφέρεται από το σώμα και το δάπεδο στο περιβάλλον μέχρι να αποκτήσουν την αρχική θερμοκρασία τους. Η θερμότητα που μεταφέρθηκε από το σώμα στο περιβάλλον είναι Q_Σ.

Να αποδείξετε ότι η μετατόπιση Δx_Τ του σημείου εφαρμογής της τριβής είναι:

Απάντηση

Εφαρμογή του ΘΜΚΕ

Επειδή η τριβή ασκείται στην επιφάνεια του σώματος, το σώμα δεν μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Άρα δεν μπορούμε να ταυτίσουμε τη μετατόπιση Δx_Τ του σημείου εφαρμογής της τριβής με τη μετατόπιση Δx του σώματος.

Γνωρίζουμε ωστόσο ότι το κέντρο μάζας ενός σώματος κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος, αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε το ΘΜΚΕ για το κέντρο μάζας του σώματος χρησιμοποιώντας τη μετατόπιση του κέντρου μάζας και όχι τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της τριβής.

Στην περίπτωση που εξετάζουμε, επειδή η κίνηση του σώματος είναι μεταφορική, η μετατόπιση του κέντρου μάζας είναι ίση με τη μετατόπιση Δx του σώματος. Άρα:

Εφαρμογή της ΑΔΕ

Η ΑΔΕ ισχύει και για τα υλικά σημεία αλλά και για τα σώματα που δεν μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία. Άρα θα εφαρμόσουμε την ΑΔΕ στο σώμα που εξετάζουμε χρησιμοποιώντας τη μετατόπιση Δx_Τ του σημείου εφαρμογής της τριβής:

Από την (1) και τη (2) προκύπτει:

---

Αναλυτική απόδειξη της σχέσης (2)

Θα εφαρμόσουμε τον 1^ο νόμο της Θερμοδυναμικής. Στην περίπτωση που μελετάμε το σύστημα δεν είναι ένα αέριο αλλά το σώμα που ολισθαίνει πάνω στο οριζόντια δάπεδο. Σε αυτή την περίπτωση ο 1^ος νόμος της θερμοδυναμικής παίρνει τη μορφή:

Q_Σ είναι η θερμότητα που μεταφέρεται από το σύστημα στο περιβάλλον και γι’ αυτό

Επειδή η μόνη μορφή ενέργειας του σώματος που μεταβάλλεται είναι η κινητική ενέργεια, στον 1^ο νόμο τη θερμοδυναμικής για το σώμα εμφανίζεται η μεταβολή ΔK της κινητικής ενέργειάς του.

W είναι το έργο της δύναμης την οποία ασκεί το σώμα στο περιβάλλον του. Το σώμα ασκεί δύναμη στο δάπεδο που είναι η αντίδραση της τριβής που δέχεται το σώμα από το δάπεδο. Άρα

Συνεπώς από την (3) προκύπτει: