Δυναμική ενέργεια συστήματος ή σωματιδίου;

Γιατί μας ενδιαφέρει Χωρίς αλληλεπίδραση δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια. Άρα μόνο σε συστήματα σωμάτων υπάρχει δυναμική ενέργεια. Γιατί αποδίδουμε δυναμική ενέργεια σε μεμονωμένα σώματα;

Λέξεις κλειδιά ΑΔΟ, ΑΔΕ, δυναμική ενέργεια, προσεγγιστική μορφή μαθηματικής σχέσης

Θετικά φορτισμένο σωματίδιο $\Sigma_1$ μάζας $m_1$ βάλλεται με αρχική κινητική ενέργεια $K_0$ προς δεύτερο επίσης θετικά φορτισμένο σωματίδιο $\Sigma_2$ , μάζας $m_2$ που αρχικά είναι ακίνητο. Το σύστημα των δύο σωμάτων είναι απομονωμένο και η αρχική δυναμική ενέργειά του είναι $U_0$ . Επειδή οι δυνάμεις ανάμεσα στα σωματίδια είναι απωστικές, αρχικά το $\Sigma_1$ επιβραδύνεται και το $\Sigma_2$ επιταχύνεται και γι’ αυτό κάποια στιγμή οι ταχύτητές τους θα γίνουν ίσες.

(α) Να αποδείξετε ότι, τη στιγμή που οι ταχύτητες των δύο σωμάτων θα είναι ίσες, για τις ενέργειες του συστήματος θα ισχύει:

$K_0+U_0 =\frac{m_1}{m_1+m_2}K_0 + U$

όπου $U$ η δυναμική ενέργεια του συστήματος τη στιγμή που οι ταχύτητες θα είναι ίσες μεταξύ τους.

(β) Να αποδείξετε ότι, όταν η $m_2$ είναι πολύ μεγαλύτερη από την $m_1$ , τη στιγμή που οι ταχύτητες των δύο σωμάτων είναι ίσες, πρακτικά ισχύει:

$K_0+U_0 =U$

Απάντηση

Με λίγα λόγια Από το συνδυασμό της ΑΔΟ και της ΑΔΜΕ για το σύστημα προκύπτει μια σχέση μεταξύ των ενεργειών. Βρίσκουμε ποια μορφή παίρνει αυτή η σχέση, όταν οι μάζες των σωμάτων διαφέρουν πολύ μεταξύ τους.

(α)

Εφαρμόζουμε την ΑΔΟ για το σύστημα

$m_1v_0=m_1v+m_2v \Rightarrow$

$v = \frac{m_1}{m_1+m_2}\,v_0\,\,\,\,(1)$

όπου $v_0$ είναι η αρχική ταχύτητα του $\Sigma_1$ και $v$ η κοινή ταχύτητα των δύο σωματιδίων.

Εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ για το σύστημα

$\frac{1}{2}m_1v^2_0+U_0=\frac{1}{2}m_1v^2+\frac{1}{2}m_2v^2+U\Rightarrow$

$\frac{1}{2}m_1v^2_0+U_0=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2+U\,\,\,\,(2)$

Από τη (1) και τη (2) προκύπτει:

$\frac{1}{2}m_1v^2_0+U_0=\frac{1}{2}(m_1+m_2)(\frac{m_1}{m_1+m_2}\,v_0)^2+U\Rightarrow$

$\frac{1}{2}m_1v^2_0+U_0=\frac{1}{2}\frac{m^2_1}{m_1+m_2}v_0^2+U\Rightarrow$

$\frac{1}{2}m_1v^2_0+U_0=\frac{1}{2} \frac{m_1}{m_1+m_2}m_1v_0^2+U\Rightarrow$

$\boxed{K_0+U_0 =\frac{m_1}{m_1+m_2}K_0 + U} \,\,\,\,(3)$

(β)

Από την (3) προκύπτει

$K_0+U_0 =\frac{m_1}{m_2}\frac{1}{\frac{m_1}{m_2}+1}K_0 + U\Rightarrow$

$(1-\frac{m_1}{m_2}\frac{1}{\frac{m_1}{m_2}+1})K_0+U_0 = U\Rightarrow$

Όταν η $m_2$ είναι πολύ μεγαλύτερη από την $m_1$ , το κλάσμα $\frac{m_1}{m_2}$ είναι πολύ μικρότερο από τη μονάδα και γι’ αυτό η τελευταία σχέση πρακτικά γίνεται:

$\boxed{K_0+U_0 =U}$

Συμπέρασμα Η τελευταία σχέση έχει τη μορφή της ΑΔΜΕ για σωματίδιο του οποίου η αρχική μηχανική ενέργεια ήταν $K_0+U_0$ και η τελική μηχανική ενέργεια είναι $U$ , διότι η ταχύτητά του έχει μηδενιστεί. Άρα όταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η μάζα του ενός είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα του άλλου, μπορούμε να εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ μόνο για το σώμα μικρότερης μάζας και όχι για ολόκληρο το σύστημα.

Παρατήρηση Αν και το συγκεκριμένο συμπέρασμα προέκυψε στην ειδική περίπτωση που περιγράφεται στην εκφώνηση, αποδεικνύεται ότι έχει γενικότερη ισχύ.