Εξαναγκασμένη ταλάντωση με διεγέρτη μια γέφυρα

Γιατί μας ενδιαφέρει Η εξαναγκασμένη ταλάντωση ορίζεται σε σύστημα που αποτελείται από ένα ελατήριο και ένα σώμα (υλικό σημείο). Η γέφυρα δεν είναι ένα τέτοιο σύστημα: Είναι ελαστικό μέσο και γι’ αυτό συμπεριφέρεται σαν χορδή. (Δείτε εδώ: Οι γέφυρες δεν καταστρέφονται λόγω συντονισμού – Πρότυπα Θέματα Φυσικής.) Μπορεί ωστόσο να λειτουργήσει ως διεγέρτης.

Σε οριζόντια γέφυρα με σταθερά άκρα η ταχύτητα διάδοσης εγκάρσιων κυμάτων είναι $v$ . Στη γέφυρα έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα συχνότητας $f$ .

Από το μέσο της γέφυρας κρέμεται ελατήριο σταθεράς $k$ , με ένα σώμα μάζας $m$ στερεωμένο στο κάτω άκρο του. Αν το μέσο της γέφυρας ταλαντώνεται, λειτουργεί ως διεγέρτης εξαναγκασμένης ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο- σώμα. Πόσο πρέπει να είναι το μήκος $L$ ώστε να έχουμε συντονισμό;

Να θεωρήσετε ότι η επίδραση του ελατηρίου στη μορφή του κύματος είναι αμελητέα.

Απάντηση

Επειδή η γέφυρα είναι στερεωμένη στα άκρα της, στο μέσο της θα υπάρχει δεσμός ή κοιλία. Αυτό το σημείο θα ταλαντώνεται μόνο αν στο μέσο της γέφυρας υπάρχει κοιλία. Τότε το σώμα θα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Όταν σε ελαστικό μέσο με στερεωμένα τα άκρα του έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα με μήκος κύματος $\lambda$ , στο μέσο του ελαστικού μέσου υπάρχει κοιλία όταν:

$L=(2n+1)\frac{\lambda}{2}\Rightarrow$

$L = (2n+1)\frac{v}{2f}\Rightarrow$

$f_n = (2n+1)\frac{v}{2L}\,\,\,\,(1)$

όπου $n=0, 1, 2, ...$

Για να ταλαντώνεται το σώμα με μέγιστο πλάτος, θα πρέπει η συχνότητα του ελαστικού μέσου (διεγέρτη) να συμπέσει με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος ελατήριο-σώμα. Η ιδιοσυχνότητα είναι:

$f_0= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\,\,\,\,(2)$

Από την (1) και τη (2) προκύπτει:

$(2n+1)\frac{v}{2L}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow$

$L=(2n+1)\pi\,v\,\sqrt{\frac{m}{k}}$

Συμπέρασμα Στο πρόβλημα που εξετάζουμε η γέφυρα δεν είναι το σύστημα που συντονίζεται, αλλά λειτουργεί ως διεγέρτης που επιβάλλει περιοδική κίνηση στο σημείο ανάρτησης. Το σύστημα που μπορεί να οδηγηθεί σε συντονισμό είναι το ελατήριο με τη μάζα, όταν η συχνότητα ταλάντωσης της γέφυρας ταυτιστεί με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Σε αυτή την περίπτωση ο κίνδυνος συντονισμού αφορά αποκλειστικά το κρεμασμένο σύστημα και όχι τη γέφυρα.

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Δημοφιλή

Σε κινούμενη ράβδο, η ΗΕΔ από επαγωγή δεν είναι ίση με "Βυl"

Πότε ισχύει ο νόμος του Ohm στο εναλλασσόμενο ρεύμα;

Σε κάθε κύκλωμα υπάρχει αυτεπαγωγή. Πόσο σημαντική είναι;

Το προβληματικό Πρόβλημα 4.64

2ος κανόνας του Kirchhoff: Σοβαρή παράλειψη

Μια απλή κυματοσυνάρτηση

Το αρνητικό πρόσημο της ΗΕΔ από αυτεπαγωγή

Κβαντική Φυσική Λυκείου χωρίς μέλαν σώμα και φωτοηλεκτρικό φαινόμενο

Μη μηδενικό έργο της κάθετης δύναμης σε πλάγιο επίπεδο

Ευρετήριο