Καταστατική εξίσωση σωματιδίου

Με λίγα λόγια: Σωματίδιο με κινητική ενέργεια $E$ , εγκλωβισμένο σε δοχείο όγκου $V$ , συγκρούεται επανειλημμένα με το ίδιο τοίχωμα του δοχείου και κάθε φορά ασκεί δύναμη σε αυτό. Άρα στο τοίχωμα εμφανίζεται πίεση, για την οποία αποδεικνύεται ότι ισχύει: $E=\frac{1}{2}PV$ . (Υπενθύμιση: Για το ιδανικό αέριο ισχύει $E_{\alpha \epsilon \rho}=\frac{3}{2}P_{\alpha \epsilon \rho}V$ , διότι τα μόριά του κινούνται σε τρεις διαστάσεις.)

Γιατί μας ενδιαφέρει: Πρόκειται για απλουστευμένη εκδοχή της απόδειξης της καταστατικής εξίσωσης των ιδανικών αερίων.

Στο σχήμα φαίνεται ένα σωματίδιο, μάζας $m$ που βρίσκεται εγκλωβισμένο μέσα σε δοχείο. Το ένα τοίχωμα του δοχείου μπορεί να κινείται.

Το σωματίδιο κινούμενο με ταχύτητα μέτρου $v$ προσπίπτει κάθετα στο κινητό τοίχωμα και συγκρούεται με αυτό. Κατόπιν κινείται αντίθετα από την αρχική κατεύθυνσή του, συγκρούεται με το απέναντι τοίχωμα κοκ. Κάθε φορά η κρούση είναι ελαστική. Η μάζα του κινητού τοιχώματος καθώς και του υπόλοιπου δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα του σωματιδίου και γι’ αυτό το σωματίδιο ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτήν που είχε πριν την κρούση ενώ το κινητό τοίχωμα και το υπόλοιπο δοχείο παραμένουν πρακτικά ακίνητα.

Να θεωρήσετε ότι το χρονικό διάστημα που διαρκεί η κρούση είναι πολύ μικρότερο από το χρονικό διάστημα της κίνησης του σωματιδίου από το ένα τοίχωμα στο άλλο.

(α) Να αποδείξετε ότι ο χρόνος $t$ που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων του σωματιδίου με το κινητό τοίχωμα είναι $t =\frac{2d}{v}$ , όπου $d$ είναι η απόσταση μεταξύ του κινητού τοιχώματος και του απέναντι τοιχώματος.

(β) Αν σε χρονικό διάστημα $\Delta t$ το πλήθος των συγκρούσεων του σωματιδίου με το κινητό τοίχωμα είναι $n$ , να αποδείξετε ότι: $n = \frac{v \Delta t}{2d}$ .

(γ) Να αποδείξετε ότι το μέτρο, $p$ της ορμής που αποκτά το έμβολο μετά από χρονικό διάστημα $\Delta t$ είναι: $p =\frac{mv^2\Delta t}{d}$ .

(δ) Το πηλίκο $\frac{\Delta \vec{p_2}}{\Delta t}$ το ονομάζουμε μέση δύναμη που ασκείται στο έμβολο από το σωματίδιο και το συμβολίζουμε με $\vec{F_\mu}$ . Να αποδείξετε ότι το μέτρο της μέσης δύναμης που ασκείται στο κινητό τοίχωμα είναι: $F_{\mu}= \frac{mv^2}{d}$

(ε) Να αποδείξετε ότι: $E=\frac{1}{2}PV$ , όπου $P$ , είναι η πίεση που υπάρχει στο κινητό τοίχωμα λόγω των συγκρούσεων του σωματιδίου με αυτό.

Απαντήσεις

(α) Επειδή σε χρονικό διάστημα $t$ το σωματίδιο συγκρούεται διαδοχικά δύο φορές με το κινητό τοίχωμα, διανύει διάστημα $2d$ , κινούμενο με ταχύτητα μέτρου $v$ . Άρα:

$2d = vt \Rightarrow$

$t = \frac{2d}{v}$ $%$ (1)

(β) Επειδή το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο συγκρούσεων με το κινητό τοίχωμα είναι $t$ , σε χρονικό διάστημα $\Delta t$ το πλήθος των συγκρούσεων θα είναι $n = \frac{\Delta t}{t}$ . Άρα λόγω της (1) προκύπτει:

$n = \frac{\Delta t}{t} \Rightarrow$

$n =\frac{\Delta t}{\frac{2d}{v}} \Rightarrow$

$n = \frac{v \Delta t}{2d}$ $%$ (2)

(γ) Επειδή η μάζα του κινητού τοιχώματος είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα του σωματιδίου, το τοίχωμα παραμένει πρακτικά ακίνητο και όπως έχει αποδειχθεί στην ανάρτηση με τίτλο Ελαστική Κρούση με Ακίνητο Σώμα Πολύ Μεγάλης Μάζας, σε κάθε κρούση η ορμή του τοιχώματος αυξάνεται κατά $2mv$ . Επειδή σε χρονικό διάστημα $\Delta t$ το σωματίδιο συγκρούεται $n$ φορές με το κινητό τοίχωμα, σε αυτό το χρονικό διάστημα αποκτά ορμή: $p =n\cdot 2mv$ . Αυτή η εξίσωση λόγω της (2) γίνεται:

$p =\frac{mv^2\Delta t}{d}$ $%$ (3)

(δ) Eπειδή σε χρονικό διάστημα $\Delta t$ η ορμή το κινητού τοιχώματος μεταβλήθηκε κατά $\frac{mv^2\Delta t}{d}$ , από το 2ο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει: