Απόδειξη της φωτοηλεκτρικής εξίσωσης του Einstein χωρίς φωτόνια

Γιατί μας ενδιαφέρει: Για την απόδειξη της φωτοηλεκτρικής εξίσωσης, δεν χρειάζεται η σωματιδιακή φύση του φωτός: χρειάζεται απλώς η κβάντωση της ενέργειας του φωτός και η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Ο ίδιος ο Einstein ερμήνευσε το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο χωρίς να αναφερθεί σε σωματιδιακή φύση του φωτός. Τα φωτόνια εισάχθηκαν αργότερα για την ερμηνεία του φαινομένου Compton, ώστε να ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής.

Τα ηλεκτρόνια που υπάρχουν στο εσωτερικό ενός αγωγού περιορίζονται στο χώρο που καταλαμβάνει ο αγωγός, από δυνάμεις που εμποδίζουν τη διάχυσή τους στο περιβάλλον. Όταν μια δέσμη φωτός προσπίπτει πάνω στην επιφάνεια του αγωγού κάποια ηλεκτρόνια απορροφούν ενέργεια, αρκετή για να υπερνικήσουν αυτές τις δυνάμεις και βγαίνουν από το αγωγό.

Για να υπερνικήσει τις δυνάμεις που το συγκρατούν στον αγωγό
ένα ηλεκτρόνιο πρέπει να προσλάβει ένα ελάχιστο ποσό ενέργειας, που ονομάζεται έργο εξαγωγής και συμβολίζεται με $\phi$ .

(α) Να αποδείξετε ότι: $\phi =- W_{\alpha\gamma}$ , όπου $W_{\alpha\gamma}$ το έργο των δυνάμεων που ασκούνται στο ηλεκτρόνιο από τον αγωγό μέχρι το ηλεκτρόνιο να το εγκαταλείψει.

Ο Einstein υπόθεσε ότι το φως αποτελείται από μικρά πακέτα ενέργειας $hf$ , όπου $f$ η συχνότητά του φωτός και $h$ η σταθερά του Planck. Κατά τον Einstein το φως που προσπίπτει στον αγωγό μεταδίδει ενέργεια $hf$ σε μόνο ένα από τα ηλεκτρόνια του αγωγού.

(β) Να αποδείξετε ότι: $K = hf - \phi$ (φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein), όπου $K$ η κινητική ενέργεια τού ηλεκτρονίου, τη στιγμή που το ηλεκτρόνιο εγκαταλείπει το αγωγό.

(γ) Να αποδείξετε ότι για να απομακρυνθεί ένα ηλεκτρόνιο από τον αγωγό θα πρέπει: $f>\frac{\phi}{h}$ .

Να μη χρησιμοποιήσετε την έννοια φωτόνιο.

Απάντηση

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για ένα ηλεκτρόνιο του αγωγού, με μηδενική, αρχική ταχύτητα, από τη στιγμή που το ηλεκτρόνιο απορροφά ενέργεια από το φως, μέχρι τη στιγμή που εγκαταλείπει τον αγωγό: $E_{\phi\omega\varsigma}+W_{\alpha\gamma}=K$ (1), όπου $E_{\phi\omega\varsigma}$ είναι η ενέργεια που μεταφέρεται από το φως στο ηλεκτρόνιο.

Επειδή $K=\frac{1}{2}mv^2 \geq 0$ , από την (1) προκύπτει: $E_{\phi\omega\varsigma}+W_{\alpha\gamma}\geq 0\Rightarrow$ $E_{\phi\omega\varsigma}\geq -W_{\alpha\gamma}$ . Από αυτή την ανίσωση συμπεραίνουμε ότι το ελάχιστο ποσό ενέργειας που πρέπει να προσλάβει ένα ηλεκτρόνιο για να υπερνικήσει τις δυνάμεις που το συγκρατούν μέσα στον αγωγό είναι: $-W_{\alpha\gamma}$ . Άρα: $\phi=-W_{\alpha\gamma}$ (2).

(β) Από την (1) και τη (2) για το ηλεκτρόνιο προκύπτει: $E_{\phi\omega\varsigma}-\phi=K$ (3). Επειδή κατά τον Einstein το φως που προσπίπτει στον αγωγό μεταδίδει ενέργεια $hf$ σε ένα μόνο από τα ηλεκτρόνια του αγωγού, ισχύει $E_{\phi\omega\varsigma} = hf$ και από την (3) προκύπτει: $K = hf - \phi$ (4).

(γ) Επειδή $K>0$ από την (4) προκύπτει: $hf-\phi >0 \Rightarrow$ $f>\frac{\phi}{h}$ . Άρα για να απομακρυνθεί ένα ηλεκτρόνιο από τον αγωγό θα πρέπει η συχνότητα του φωτός να είναι μεγαλύτερη από $\frac{\phi}{h}$ , η οποία ονομάζεται συχνότητα κατωφλίου.

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Πρόσφατα

Ευρετήριο

Απόδειξη της φωτοηλεκτρικής εξίσωσης του Einstein χωρίς φωτόνια

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής