Πότε η F είναι μικρότερη από mΔυ/Δt;

Γιατί μας ενδιαφέρει: Ένα απλό παράδειγμα στο οποίο χρησιμοποιείται η σχέση της ροπής με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής και αναδεικνύεται ο ρόλος της ροπής στην κίνηση ενός υλικού σημείου.

Στο Σχήμα φαίνεται ένα υλικό σημείο μάζας $m$ , που είναι στερεωμένο στο άκρο μιας ράβδου, σε απόσταση $r$ από ένα σταθερό σημείο Κ. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται γύρω από το Κ. Σε κάποιο σημείο της ράβδου που απέχει απόσταση $l$ από το Κ ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου $F$ , συνεχώς κάθετα στη ράβδο. Να αποδείξετε ότι όταν $r < l$ , τότε $F<m\,\frac{\Delta v}{\Delta t}$ , όπου $v$ είναι το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου.

Η μάζα της ράβδου είναι αμελητέα συγκριτικά με τη μάζα του υλικού σημείου.

Απάντηση

Ισχύει: $\tau = \frac{dL}{dt}$ $%$ (1), όπου $\tau$ είναι το μέτρο της ροπής της $\vec{F}$ ως προς το Κ και $L$ είναι το μέτρο της στροφορμής του υλικού σημείου ως προς το Κ.

Από την (1) προκύπτει: $F\cdot l = \frac{dL}{dt}$ . Επειδή η ποσότητα $F\cdot l$ είναι σταθερή, η προηγούμενη σχέση γίνεται: $F\cdot l = \frac{\Delta(mvr)}{\Delta t} \Rightarrow$ $F\cdot l =mr \frac{\Delta v}{\Delta t} \Rightarrow$ $\frac {F}{m}\,\, \frac{l}{r}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ $%$ (2).