Δύο σώματα, τρία ελατήρια, μία ΑΑΤ

Γιατί μας ενδιαφέρει Σε σύστημα δύο ταλαντωτών επεκτείνουμε με απλό τρόπο όσα γνωρίζουμε για την ΑΑΤ.

Στο πρώτο Σχήμα φαίνονται δύο πανομοιότυπα σώματα μάζας m, συνδεμένα με τρία πανομοιότυπα ελατήρια σταθεράς k. Απομακρύνουμε οριζόντια τα σώματα από τη θέση ισορροπίας τους και τα αφήνουμε ελεύθερα. Τα σώματα κινούνται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Ορισμένη χρονική στιγμή το σώμα 1 έχει απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας του προς τα δεξιά κατά $x_1$ (όπως φαίνεται στο δεύτερο Σχήμα) και το ενδιάμεσο ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά $x$ . Τότε το σώμα 2 θα έχει απομακρυνθεί προς τα δεξιά από τη θέση ισορροπίας του κατά $x_1+x = x_2$ .

(α) Να αποδείξετε ότι:

$-3k(x_2-x_1) = m(a_2-a_1)$ .

(β) Να αποδείξετε ότι:

$x_2-x_1 = A\,\eta\mu\, (\omega t +\phi)$ , όπου $\omega = \sqrt{\frac{3k}{m}}$ .

(γ) Αν τη χρονική στιγμή 0 τα σώματα κινούμενα προς το θετικό ημιάξονα περνούν από τη θέση ισορροπίας τους με ταχύτητα μέτρου $v_0$ , να αποδείξετε ότι το ελατήριο θα έχει συνεχώς το φυσικό μήκος του.

Απαντήσεις

Με λίγα λόγια Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις στα σώματα και εφαρμόζουμε το 2ο νόμο του Νεύτωνα. Οι δυνάμεις υπακούουν στο νόμο του Hooke. Αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν και χρησιμοποιούμε τη σχέση $x_2-x_1 = x$ ώστε να απαλείψουμε την ποσότητα $x$ .

(α)

$F_1$ είναι το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σώμα 1 από το τεντωμένο, αριστερό ελατήριο. $F$ είναι το μέτρο της δύναμης που ασκείται σε κάθε σώμα από το ενδιάμεσο, τεντωμένο ελατήριο και $F_2$ είναι το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σώμα 2 από το συμπιεσμένο, δεξιό ελατήριο. Άρα:

$-F_1+F =ma_1$

$-kx_1+k x=ma_1$ (1)

$-F_2-F =ma_2\Rightarrow$

$-kx_2-k x=ma_2$ (2)

$(1)-(2) \rightarrow k(x_2-x_1)+2kx = m(a_1-a_2)\Rightarrow$

$-3k(x_2-x_1)= m(a_2-a_1)$ (3)

(β)

Η (3) προσομοιάζει με την εξίσωση που περιγράφει την κίνηση ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή, όπου το ρόλο της απομάκρυνσης τον παίζει η ποσότητα $x_2-x_1$ και η αντίστοιχη επιτάχυνση είναι $a_2-a_1$ , με σταθερά επαναφοράς 3k και μάζα m. Άρα θα ισχύει:

$x_2-x_1 = A \eta \mu (\omega t+\phi)$ (6)

όπου $\omega = \sqrt{\frac{3k}{m}}$ .

(γ)

$x_1(0)=0, x_2(0)=0, v_1(0)=v_2(0)=v_0$

$(6)\rightarrow 0 = A\eta\mu \, \phi \Rightarrow$

$A =0$ είτε $\phi = 0$ είτε $\phi = \pi$ .

$(6) \rightarrow v_2 -v_1 = A\omega\, \sigma\upsilon\nu(\omega t+\phi) \Rightarrow$

$v_2(0)-v_1(0) = A\omega\,\sigma \upsilon \nu\phi \Rightarrow$

$v_0-v_0 = A\omega\,\sigma \upsilon \nu\phi \Rightarrow$

$0 = A\omega\, \sigma \upsilon \nu\phi$ (7)

Σε αυτή τη σχέση αντικαθιστώντας διαδοχικά τις τιμές $A =0$ , $\phi = 0$ και $\phi = \pi$ προκύπτει ότι η (7) ισχύει μόνο όταν Α =0. Άρα κάθε χρονική στιγμή $x_2(t)-x_1(t) = 0 \Rightarrow$ $x(t)=0$ .

Συμπέρασμα: Επειδή $x(t) =0$ , προκύπτει ότι το ελατήριο έχει συνεχώς το φυσικό μήκος του και επειδή $x_1(t) = x_2(t)$ , τα δύο σώματα εκτελούν πανομοιότυπες απλές αρμονικές ταλαντώσεις.

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Πρόσφατα

Δύο σώματα, τρία ελατήρια, μία ΑΑΤ

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής