Πόσο διαρκεί μια ελαστική κρούση;

Γιατί μας ενδιαφέρει: Το χρονικό διάστημα που διαρκεί μια ελαστική κρούση είναι πολύ σημαντικό, διότι μόνον όταν είναι πολύ μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η ολική κινητική ενέργεια μένει συνεχώς σταθερή.

Μεταξύ των σωμάτων ${\Sigma}_1$ και ${\Sigma}_2$ που φαίνονται στο Σχήμα παρεμβάλλεται ελατήριο. Οι μάζες των σωμάτων είναι $m_1$ και $m_2$ και η σταθερά του ελατηρίου είναι $k$ . Αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του, $L_0$ . Επειδή αρχικά το ${\Sigma}_1$ κινείται γρηγορότερα από το ${\Sigma}_2$ , το ελατήριο συμπιέζεται, αποκτά μια μέγιστη παραμόρφωση και κατόπιν αποσυμπιέζεται επανερχόμενο στο φυσικό μήκος του.

(α)Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα, $\Delta t$ που διαρκεί η παραμόρφωση του ελατηρίου, σε συνάρτηση με τις μάζες των σωμάτων και τη σταθερά του ελατηρίου.

(β) Να αποδείξετε ότι όταν η σταθερά του ελατηρίου είναι πολύ μεγάλη, η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων μένει πρακτικά σταθερή.

Απαντήσεις

(α) Όταν το ελατήριο έχει συμπιεστεί και το μήκος του έχει γίνει $L$ , για την παραμόρφωσή του $s$ ισχύει:

$s =L_0-L\Rightarrow$ $L=L_0-s$ $%$ (1)

Επιλέγοντας την θετική κατεύθυνση του άξονα $x$ προς τα δεξιά, από το νόμο του Hooke και το 2ο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει:

$-ks = m_1 a_1 \Rightarrow$ $\frac{k}{m_1}s=-a_1$

Ομοίως:

$\frac{k}{m_2}s=a_2$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο προηγούμενες εξισώσεις προκύπτει:

$\frac{k}{m_2}s+\frac{k}{m_1}s=a_2-a_1 \Rightarrow$ $k (\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_1}) s=a_2-a_1$ $%$ (2)

Από το Σχήμα (β) και την (1) προκύπτει:

$x_2=x_1+L \Rightarrow$ $x_2=x_1+L_0-s \Rightarrow$ $v_2=v_1-v_{\epsilon \lambda} \Rightarrow$ $a_2=a_1-a_{\epsilon \lambda} \Rightarrow$

$-(a_2-a_1)=a_{\epsilon \lambda}$ $%$ (3)

Όπου $v_{\epsilon \lambda}$ είναι η ταχύτητα με την οποία μεταβάλλεται η παραμόρφωση $s$ του ελατηρίου και $a_{\epsilon \lambda}$ είναι η αντίστοιχη επιτάχυνση.

Από τη (2) και την (3) προκύπτει:

$-k (\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_1}) s=a_{\epsilon \lambda} \Rightarrow$ $-k\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}s= a_{\epsilon \lambda} \Rightarrow$ $-ks = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} a_{\epsilon \lambda}$

Η τελευταία εξίσωση περιγράφει τον τρόπο που μεταβάλλεται η παραμόρφωση $s$ του ελατηρίου και έχει τη μορφή απλής αρμονικής ταλάντωσης με περίοδο:

$T = 2\pi \sqrt{ \frac{ \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} }{k} }$ $%$ (4)

Στην απλή αρμονική ταλάντωση όταν το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του. Επίσης σε χρόνο μιας περιόδου το σώμα περνά δύο φορές από τη θέση ισορροπίας του. Άρα σε χρόνο μιας περιόδου του ελατήριο αποκτά δύο φορές το φυσικό μήκος του. Συνεπώς το χρονικό διάστημα $\Delta t$ από τη στιγμή που το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του μέχρι να αποκτήσει πάλι το φυσικό μήκος του είναι $\Delta t= \frac{T}{2}$ και από την (4) προκύπτει:

$\Delta t = \pi \sqrt{ \frac{ \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} }{k} }$ $%$ (5)

(β) Από την (5) συμπεραίνουμε ότι όταν η σταθερά του ελατηρίου είναι πολύ μεγάλη το χρονικό διάστημα που το ελατήριο είναι παραμορφωμένο είναι πολύ μικρό και για αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος μένει πρακτικά σταθερή (αναλυτικότερα δείτε εδώ).

Ευρετήριο

Σύνδεση

Ευρετήριο

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Απάντηση

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής