Κύλιση μέσα σε μαγνητικό πεδίο;

Γιατί μας ενδιαφέρει: Με τη σύνθετη κίνηση στερεού μέσα σε μαγνητικό πεδίο παράγεται ΗΕΔ από επαγωγή.

Στο Σχήμα φαίνεται ένας κατακόρυφος, αγώγιμος δίσκος, ακτίνας $R$ , ο οποίος κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω οριζόντιο δάπεδο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου $\omega$ . Κάθετα στο επίπεδο του δίσκου υπάρχει ομογενές, μαγνητικό πεδίο μέτρου $B$ .

Να αποδείξετε ότι μεταξύ του κέντρου Κ του δίσκου και του ανώτατου σημείου του Λ αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή $\mathcal E(K\mathit{\Lambda}) = \frac{3}{2}B\omega R^2$ .

Απάντηση

1ος τρόπος: Με άμεσο υπολογισμό της ΗΕΔ

Ο δίσκος εκτελεί σύνθετη κίνηση και γι’ αυτό η κίνησή του μπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία μιας μεταφορικής κίνησης, στην οποία όλα τα σημεία του τροχού, κάθε στιγμή, έχουν την ίδια ταχύτητα $v_{cm}$ και μιας στροφικής κίνησης, με γωνιακή ταχύτητα $\omega$ , γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο του τροχού και είναι κάθετος σ’ αυτόν. Επειδή δίσκος κυλίεται ισχύει: $v_{cm}=\omega R$ .

Αν θεωρήσουμε ότι ο δίσκος αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό αγωγών κατά μήκος των ακτίνων του, ο αγωγός κατά μήκος της ακτίνας ΚΛ εκτελεί δύο κινήσεις: μια μεταφορική με ταχύτητα μέτρου $v_{cm}$ και μια στροφική, με γωνιακή ταχύτητα μέτρου $\omega$ γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο του τροχού και είναι κάθετος σ’ αυτόν.

Λόγω της μεταφορικής κίνησης του αγωγού, στα άκρα του εμφανίζεται ΗΕΔ από επαγωγή $\mathcal E_{\mu\epsilon\tau} =Bv_{cm}R \Rightarrow$ $\mathcal E =B\omega R^2$ . Συγχρόνως, λόγω της στροφικής κίνησής του, στα άκρα του εμφανίζεται ΗΕΔ από επαγωγή $\mathcal E_{\sigma\tau\rho} = \frac{1}{2}B\omega R^2$ . Λόγω της δύναμης Lorentz που ασκείται στα φορτία του αγωγού, και για τις δύο κινήσεις προκύπτει ότι θετικό φορτίο συγκεντρώνεται στο Κ και αρνητικό στο Λ. Άρα η ολική ΗΕΔ είναι: $\mathcal E(K\mathit{\Lambda}) = \frac{3}{2}B\omega R^2$ .

2ος τρόπος: Με υπολογισμό εμβαδών

Όπως φαίνεται στο Σχήμα, σε χρονικό διάστημα $\Delta t$ η επιφάνεια που σαρώνει ο αγωγός ΚΛ λόγω της μεταφορικής κίνησής του είναι $\Delta A_{\mu\epsilon\tau} = v_{cm} \Delta t \, R \Rightarrow$ $\Delta A_{\mu\epsilon\tau}= \omega R^2$ . Στο ίδιο χρονικό διάστημα η επιφάνεια που σαρώνει ο αγωγός, λόγω της στροφικής κίνησής του, είναι $\Delta A_{\sigma\tau\rho} = \frac {\Delta t}{T} \pi R^2 \Rightarrow$ $\Delta A_{\sigma\tau\rho} = \frac{1}{2}\omega R^2$ , όπου $T$ η περίοδος περιστροφής του δίσκου. Άρα σε χρονικό διάστημα $\Delta t$ η ολική επιφάνεια που σαρώνει ο αγωγός είναι $\Delta A = \frac{3}{2} \omega R^2$ . Συνεπώς στα άκρα του αγωγού αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή: $\mathcal E(K\mathit{\Lambda}) = \frac{BdA}{dt} \Rightarrow$ $\mathcal E(K\mathit{\Lambda}) = \frac{3}{2}B\omega R^2$ .

3ος τρόπος: Με στροφική κίνηση γύρω από το κατώτατο σημείο του δίσκου

Στη στροφική κίνηση υπάρχει μια ευθεία – ο άξονας περιστροφής – που όλα της τα σημεία του στερεού παραμένουν ακίνητα ενώ τα υπόλοιπα σημεία του σώματος κάνουν κυκλική κίνηση. Επειδή ο δίσκος κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, το κατώτατο σημείο του μένει, κάθε φορά, στιγμιαία ακίνητο. Άρα η κύλιση του δίσκου είναι στροφική κίνηση γύρω από στιγμιαίο άξονα περιστροφής που περνάει από το κατώτατο σημείο και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου.

Αν θεωρήσουμε ότι ο δίσκος αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό αγωγών, κατά μήκος των χορδών που ξεκινούν από το Ο, όπως φαίνεται στο Σχήμα, ο αγωγός ΟΛ εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από το Ο. Άρα κατά μήκος του αγωγού ΟΛ αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή $\mathcal E(O\mathit{\Lambda}) = \frac{1}{2}B\omega (2R)^2 \Rightarrow$ $\mathcal E(OK) = 2B\omega R^2$ (1).

Ομοίως κατά μήκος του στρεφόμενου αγωγού ΟΚ αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή $\mathcal E(OK) = \frac{1}{2}\omega R^2$ (2).

Λόγω της δύναμης Lorentz που ασκείται στα φορτία του αγωγού ΟΛ προκύπτει ότι θετικό φορτίο συγκεντρώνεται στο Ο και αρνητικό στο Λ. Άρα $\mathcal E(O\mathit{\Lambda})=\mathcal E(OK)+\mathcal E(K\mathit{\Lambda}) \Rightarrow$ $\mathcal E(K\mathit{\Lambda}) = \mathcal E(O\mathit{\Lambda})-\mathcal E(OK)$ (3).

Από την (1), τη (2) και την (3) προκύπτει $\mathcal E(K\mathit{\Lambda}) = \frac{3}{2}B\omega R^2$ .

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Πρόσφατα

Ευρετήριο

Κύλιση μέσα σε μαγνητικό πεδίο;

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής