Ανακύκλωση: Αρκεί το νήμα να είναι τεντωμένο στην κορυφή;

Ανακύκλωση: Aρκεί το νήμα να είναι τεντωμένο στην κορυφή;

Γιατί μας ενδιαφέρει Κατά τη μελέτη της ανακύκλωσης βρίσκουμε το μέτρο της ταχύτητας στην ανώτατη θέση ώστε σε αυτή τη θέση το νήμα να είναι τεντωμένο. Συγχρόνως ισχυριζόμαστε ότι αυτό είναι αρκετό ώστε το σώμα να κάνει ανακύκλωση. Όμως συνήθως δεν δικαιολογούμε αυτόν το ισχυρισμό.

Κινούμενο σφαιρίδιο μάζας m είναι δεμένο στη μία άκρη μη εκτατού νήματος μήκους L. Το άλλο άκρο του νήματος είναι στερεωμένο σε σταθερό σημείο. Ορισμένη στιγμή το σφαιρίδιο περνά από την ανώτατη θέση του, έχοντας ταχύτητα τέτοια ώστε το νήμα να είναι τεντωμένο σε αυτή θέση. Να αποδείξετε ότι και στην υπόλοιπη κίνηση του σφαιριδίου το νήμα θα μένει συνεχώς τεντωμένο, δηλαδή το σφαιρίδιο θα εκτελεί ανακύκλωση.

Απάντηση

Με λίγα λόγια Για να είναι συνεχώς τεντωμένο το νήμα, θα πρέπει σε κάθε θέση της κίνησης του σφαιριδίου να ισχύει:

$T_{\phi}+w\, \sigma\upsilon\nu \phi= \frac{mv_{\phi}^2}{L}\,\,\,\,(1)$

όπου $T_{\phi}$ το μέτρο της τάσης του νήματος, $\phi$ η γωνία μεταξύ του νήματος και της κατακορύφου και $w\, \sigma\upsilon\nu \phi$ είναι η τιμή της συνιστώσας του βάρους κατά μήκος της ακτίνας.

Καθώς το σφαιρίδιο κατεβαίνει η $\phi$ αυξάνεται. Άρα η τιμή της συνιστώσας του βάρους κατά μήκος της ακτίνας ελαττώνεται. Συγχρόνως, λόγω της ΑΔΕ, η ταχύτητα του σφαιριδίου αυξάνεται. Άρα από την (1) προκύπτει ότι καθώς το σφαιρίδιο κατεβαίνει, η τάση του νήματος αυξάνεται.

Αναλυτικά

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι, όταν το σφαιρίδιο βρίσκεται στην ανώτατη θέση του, ισχύει:

$T_0+w= \frac{mv^2_0}{L}\,\,\,\,(2)$

Θα αποδείξουμε ότι: $T_{\phi} \geq T_0$ .

Από την (1) αφαιρώντας κατά μέλη τη (2) προκύπτει:

$T_{\phi}+w\, \sigma\upsilon\nu \phi-(T_0+w)=\frac{mv_{\phi}^2}{L}-\frac{mv_0^2}{L}\Rightarrow$

$T_{\phi}-T_0=\frac{m}{L}(v^2_{\phi}-v_0^2)-w(\sigma\upsilon\nu \phi-1)$

Επειδή $-1\leq \sigma\upsilon\nu \phi\leq 1$ προκύπτει:

$\frac{m}{L}(v^2_{\phi}-v^2_0)+2w\geq T_{\phi}-T_0\geq \frac{m}{L}(v^2_{\phi}-v^2_0)$

Όταν το σφαιρίδιο κατεβαίνει, η δυναμική ενέργειά του ελαττώνεται και γι’ αυτό η κινητική ενέργειά του αυξάνεται (ΑΔΕ). Άρα $v_{\phi}\geq v_0$ . Συνεπώς από την τελευταία σχέση προκύπτει:

$T_{\phi}\geq T_0\Rightarrow$

$T_{\phi}\geq 0$ .

Συμπέρασμα Το νήμα θα είναι συνεχώς τεντωμένο και γι’ αυτό το σφαιρίδιο θα μπορέσει να κάνει ανακύκλωση.

Σημείωση Η απάντηση στηρίζεται στο δεδομένο της εκφώνησης ότι το νήμα είναι τεντωμένο στην κορυφή. Για να συμβαίνει αυτό, από τη σχέση (2) προκύπτει ότι θα πρέπει $v_0>\sqrt{gL}$ . Ωστόσο αυτή η πληροφορία δεν είναι απαραίτητη στην απόδειξη.