Δύο δυνάμεις που τους αρέσει να κρύβονται

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Δύο δυνάμεις που τους αρέσει να κρύβονται

Γιατί μας ενδιαφέρει Υπάρχουν δύο κρυμμένες δυνάμεις που τις βρίσκουμε μόνο όταν γνωρίζουμε την κινητική κατάσταση του σώματος. Ποιες είναι;

Στο Σχήμα φαίνεται οριζόντια πλατφόρμα που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κατακόρυφο κύκλο ακτίνας R. Η γραμμική ταχύτητα της πλατφόρμας είναι $v=\sqrt{\frac{gR}{2}}$ , όπου $g$ το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Τη στιγμή που η πλατφόρμα περνά από την ανώτατη θέση της, τοποθετούμε πάνω σε αυτή ένα σώμα με μηδενική ταχύτητα ως προς αυτή. Σε αυτή την περίπτωση, καθώς η πλατφόρμα κινείται, το σώμα μένει συνεχώς ακίνητο ως προς αυτή. Να προσδιορίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

Απάντηση

Επειδή η πλατφόρμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και το σώμα είναι συνεχώς ακίνητο ως προς αυτή, το σώμα επίσης εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με την ίδια γραμμική ταχύτητα $v$. Άρα η επιτάχυνσή του θα είναι κεντρομόλος με μέτρο:

$\alpha_\kappa = \frac{v^2}{R}\Rightarrow$

$\alpha_{\kappa} = \frac{g}{2}\,\,\,(1)$

Αναλύουμε την κεντρομόλο επιτάχυνση στην οριζόντια και τη κατακόρυφη συνιστώσα της, όπως φαίνεται στο Σχήμα:

$\alpha_{\kappa\, o\rho}=\alpha_{\kappa}\, \eta\mu\, \theta \Rightarrow$

$\alpha_{\kappa\, o\rho}=\frac{g}{2}\, \eta\mu\, \theta\,\,\,\,(2)$

και

$\alpha_{\kappa\,\kappa\alpha\tau} = \alpha_\kappa\, \sigma\upsilon\nu\, \theta\Rightarrow$

$\alpha_{\kappa\,\kappa\alpha\tau} = \frac{g}{2}\, \sigma\upsilon\nu\, \theta\,\,\,\,(3)$

Προσδιορισμός της συνισταμένης από την επιτάχυνση

Από τη (2) προκύπτει ότι στην κατακόρυφη διεύθυνση η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι:

$\sum F_{\kappa\alpha\tau}=m\frac{g}{2} \sigma\upsilon\nu\,\theta\Rightarrow$

$\sum F_{\kappa\alpha\tau}=\frac{w}{2}\sigma\upsilon\nu\,\theta$

με κατεύθυνση προς τα κάτω.

Aποκάλυψη της κάθετης δύναμης $\vec{N}$

Παρατηρούμε ότι $w>\sum F_{\kappa\alpha\tau}$ , δηλαδή η συνισταμένη έχει την ίδια φορά με το βάρος και είναι μικρότερη από το βάρος. Θα πρέπει λοιπόν, εκτός από το βάρος, να ασκείται και μια δύναμη αντίθετα από το βάρος. Στη περίπτωση που εξετάζουμε η μόνη δύναμη που θα μπορούσε να παίξει αυτό το ρόλο είναι η κάθετη δύναμη επαφής, που ασκείται από την πλατφόρμα στο σώμα. Για το μέτρο Ν αυτής της δύναμης από το 2ο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε:

$w-N=\frac{w}{2}\sigma\upsilon\nu\,\theta \Rightarrow$
$N=w-\frac{w}{2}\sigma\upsilon\nu\,\theta \Rightarrow$
$N=w(1-\frac{1}{2}\sigma\upsilon\nu\,\theta)\Rightarrow$
$N=\frac{w}{2}(2-\sigma\upsilon\nu\,\theta)$

Αποκάλυψη της στατικής τριβής

Στην οριζόντια διεύθυνση υπάρχει η επιτάχυνση με φορά προς το εσωτερικό της τροχιάς. Όμως δεν ασκείται κάποια φανερή δύναμη. Στην περίπτωση που εξετάζουμε η μόνη δύναμη που θα μπορούσε να προκαλέσει αυτή την επιτάχυνση είναι η τριβή μεταξύ του σώματος και της πλατφόρμας, με κατεύθυνση προς το εσωτερικό της τροχιάς. Μάλιστα επειδή το σώμα είναι ακίνητο ως προς την πλατφόρμα, πρόκειται για στατική τριβή. Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα για το μέτρο της προκύπτει:

$T=ma_{\kappa\,{o\rho}}\Rightarrow$
$T=m\frac{g}{2}\, \eta\mu\, \theta \Rightarrow$
$T=\frac{w}{2}\, \eta\mu\, \theta\,\,\,\,(4)$

Όταν $\theta = 0$ ή $\pi$ , στον οριζόντιο άξονα η επιτάχυνση μηδενίζεται. Άρα στην ανώτατη και την κατώτατη θέση η τριβή είναι μηδενική.

Επειδή υπάρχει στατική τριβή, με εξαίρεση τη ανώτατη και την κατώτατη θέση, θα ισχύει: $T\leq \mu N$
Από την (3) και την (4) προκύπτει:

$\frac{w}{2}\, \eta\mu\, \theta\leq \mu\frac{w}{2}(2-\sigma\upsilon\nu\,\theta)\Rightarrow$

$\frac{\eta\mu\, \theta}{2-\sigma\upsilon\nu\,\theta}\leq \mu$

Αποδεικνύεται ότι η μέγιστη τιμή της ποσότητας $\frac{\eta\mu\, \theta}{2-\sigma\upsilon\nu\,\theta}$ είναι η τιμή $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Άρα για να πραγματοποιηθεί η κίνηση που εξετάζουμε θα πρέπει $\mu\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ .