Απλή αρμονική ταλάντωση κυλιόμενου τροχού

Γιατί μας ενδιαφέρει: Σύνθεση στροφικής κίνησης και απλής αρμονικής ταλάντωσης.

Ο τροχός ακτίνας $R$ που φαίνεται στο Σχήμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το κέντρο μάζας του τροχού εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος $A$ και γωνιακή συχνότητα $\omega_{cm}$ . Τη χρονική στιγμή 0 το σημείο Σ εφάπτεται με το οριζόντιο επίπεδο και το κέντρο μάζας περνά από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Να αποδείξετε ότι μια επόμενη χρονική στιγμή, $t$ , η ταχύτητα του Σ έχει μέτρο: $v_{\Sigma}= A\omega_{cm}\, |\sigma \upsilon \nu \,\omega_{cm}t |\, \sqrt{2[1-\sigma\upsilon\nu (\frac{A}{R}\eta \mu \,\omega_{cm}t)] }$ .

Ευρετήριο Πρότυπων Θεμάτων Φυσικής

Απαντήσεις

Στο Σχήμα φαίνεται η θέση του Σ μια τυχαία χρονική στιγμή $t$ . Για τα μέτρα των ταχυτήτων ισχύει: $v_{\Sigma}^2 = v_{cm}^2+ v_{\gamma \rho}^2 + 2 \, v_{cm} v_{\gamma \rho} \,\sigma \upsilon \nu \,\phi$ .

Επειδή ο τροχός κυλίεται ισχύει $v_{\gamma \rho}=v_{cm}$ και γι’ αυτό η προηγούμενη σχέση γίνεται: $v_{\Sigma}^2 = v_{cm}^2 +v_{cm}^2 + 2 v_{cm}^2\,\sigma \upsilon \nu \,\phi \Rightarrow$ $v_A= v_{cm}\, \sqrt{2(1+\sigma \upsilon \nu \,\phi)}$

Επειδή το κέντρο μάζας εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και τη χρονική στιγμή $t$ περνά από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, ισχύει: $v_{cm} = A\omega_{cm} \,|\sigma\upsilon\nu \,\omega_{cm} t$ | και η προηγούμενη σχέση γίνεται: $v_{\Sigma}=A\omega_{cm} \,|\sigma\upsilon\nu \,\omega_{cm} t |\,\sqrt{2(1+\sigma \upsilon \nu \,\phi)}$ $%$ (1).

Υπολογισμός του $\sigma \upsilon \nu \,\phi$

Μέχρι τη χρονική στιγμή $t$ η ακτίνα στο Σ διέγραψε γωνία $\theta$ και η $\vec{v}_{\gamma \rho}$ σχημάτισε γωνία $\phi$ με τη $\vec{v}_{cm}$ . Επειδή οι δύο γωνίες έχουν κάθετες πλευρές μία προς μία και η $\theta$ είναι οξεία ενώ η $\phi$ είναι αμβλεία, ισχύει: $\phi + \theta = 180^{\circ} \Rightarrow$ $\phi = 180^{\circ} - \theta \Rightarrow$ $\sigma \upsilon \nu \,\phi = - \sigma \upsilon \nu \,\theta$ $%$ (2).

Υπολογισμός της $\theta$

Επειδή ο τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει ισχύει: $x_{cm} = R\theta \Rightarrow$ $\theta = \frac{x_{cm}}{R} \Rightarrow$ $\theta = \frac{A}{R}\eta \mu \,\omega_{cm}t$ $%$ (3).

Υπολογισμός της $v_{\Sigma}$

Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) προκύπτει: $v_{\Sigma}= A\omega_{cm}\, |\sigma \upsilon \nu \,\omega_{cm}t |\, \sqrt{2[1-\sigma\upsilon\nu (\frac{A}{R}\eta \mu \,\omega_{cm}t)] }$ .

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Απλή αρμονική ταλάντωση κυλιόμενου τροχού

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής