Ομαλά μεταβαλλόμενη κύλιση

Γιατί μας ενδιαφέρει: Σύνθεση στροφικής κίνησης και ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης.

Ο τροχός ακτίνας $R$ που φαίνεται στο Σχήμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το κέντρο μάζας του τροχού εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, χωρίς αρχική ταχύτητα, με επιτάχυνση μέτρου $a_{cm}$ . Τη χρονική στιγμή 0 το σημείο Σ εφάπτεται με το οριζόντιο επίπεδο. Να αποδείξετε ότι μια επόμενη χρονική στιγμή η ταχύτητα του Σ έχει μέτρο $v_\Sigma= a_{cm}\,t\, \sqrt{2[1-\sigma \upsilon \nu (\frac{1}{2}\,\frac{a_{cm}}{R}\,t^2)]}$ .

Ευρετήριο Πρότυπων Θεμάτων Φυσικής

Απάντηση

Στο Σχήμα φαίνεται η θέση του Σ μια τυχαία χρονική στιγμή $t$ . Για τα μέτρα των ταχυτήτων ισχύει: $v_{\Sigma}^2 = v_{cm}^2+ v_{\gamma \rho}^2 + 2 \, v_{cm} v_{\gamma \rho} \,\sigma \upsilon \nu \,\phi$ .

Επειδή ο τροχός κυλίεται ισχύει $v_{\gamma \rho}=v_{cm}$ και γι’ αυτό η προηγούμενη σχέση γίνεται: $v_{\Sigma}^2 = v_{cm}^2 +v_{cm}^2 + 2 v_{cm}^2\,\sigma \upsilon \nu \,\phi \Rightarrow$ $v_A= v_{cm}\, \sqrt{2(1+\sigma \upsilon \nu \,\phi)}$

Επειδή το κέντρο μάζας εκτελεί ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα ισχύει: $v_{cm} = a_{cm}t$ και η προηγούμενη σχέση γίνεται: $v_{\Sigma}=a_{cm}t\,\sqrt{2(1+\sigma \upsilon \nu \,\phi)}$ $%$ (1).

Υπολογισμός του $\sigma \upsilon \nu \,\phi$

Μέχρι τη χρονική στιγμή $t$ η ακτίνα στο Σ διέγραψε γωνία $\theta$ και η $\vec{v}_{\gamma \rho}$ σχημάτισε γωνία $\phi$ με τη $\vec{v}_{cm}$ . Επειδή οι δύο γωνίες έχουν κάθετες πλευρές μία προς μία και η $\theta$ είναι οξεία ενώ η $\phi$ είναι αμβλεία, ισχύει: $\phi + \theta = 180^{\circ} \Rightarrow$ $\phi = 180^{\circ} - \theta \Rightarrow$ $\sigma \upsilon \nu \,\phi = - \sigma \upsilon \nu \,\theta$ $%$ (2).

Υπολογισμός της $\theta$

Επειδή ο τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει, ισχύει: $x_{cm} = R\theta \Rightarrow$ $\theta = \frac{x_{cm}}{R} \Rightarrow$ $\theta = \frac{1}{2}\frac{a_{cm}}{R}t^2$ $%$ (3).