Ανύπαρκτα σωματίδια γεννούν τα υπαρκτά

Δεν υπάρχουν σωματίδια καθορισμένης ορμής. Ωστόσο από αυτά φτιάχνονται τα υπαρκτά σωματίδια.

Ανδρέας Βαλαδάκης

Ένα σωματίδιο με καθορισμένη ορμή $p$ είναι ελεύθερο να βρίσκεται οπουδήποτε στον άξονα $x$ . Σύμφωνα με την εξίσωση de Broglie, επειδή γνωρίζουμε επακριβώς την ορμή του σωματιδίου, αυτό συνδέεται με ένα αρμονικό κύμα μήκους κύματος $\lambda=\frac{h}{p}$

(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

$\psi=A\,\sin(\frac{2\pi x}{\lambda})$

δεν μπορεί να είναι ένα στιγμιότυπο της κυματοσυνάρτησης του σωματιδίου σε μια χρονική στιγμή t. A είναι μια σταθερά.

(β) Ποια είναι η χρησιμότητα ενός τέτοιου αρμονικού κύματος;

Απαντήσεις

(α) Αν ορίσουμε ένα στοιχειώδες μήκος $dx$ γύρω από ένα σημείο $x$ του άξονα των θέσεων, σύμφωνα με την ερμηνεία του Born το γινόμενο $|\psi(x)|^2dx$ δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο μέσα στην περιοχή $dx$ , τη δεδομένη χρονική στιγμή. Τότε το άθροισμα των γινομένων $|\psi|^2dx$ πρέπει να είναι ίσο με τη μονάδα:

$\sum|\psi|^2dx=1\,\,\,\,(1)$

Δηλαδή η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο κάπου σε ολόκληρο τον άξονα $x$ πρέπει είναι ίση με τη μονάδα. Kάθε κυματοσυνάρτηση πρέπει να ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη. Άρα για την $\psi=A\,\sin(\frac{2\pi x}{\lambda})$ θα πρέπει:

$\sum A^2\,\sin^2(\frac{2\pi x}{\lambda})=1\Rightarrow$

$A^2\sum\sin^2(\frac{2\pi x}{\lambda})=1\Rightarrow$

$A^2=\frac{1}{\sum\sin^2(\frac{2\pi x}{\lambda})}$

Επειδή το $x$ παίρνει όλες τις τιμές από $-\infty$ μέχρι $+\infty$ , το άθροισμα αποτελείται από ένα άπειρο πλήθος θετικών ποσοτήτων, δηλαδή ο παρονομαστής αυξάνεται συνεχώς. Άρα η σταθερά $A$ είναι πρακτικά ίση με μηδέν. Συνεπώς η πιθανότητα $|\psi|^2dx=A^2\,\sin^2(\frac{2\pi x}{\lambda})$ το σωματίδιο να βρεθεί σε μια στοιχειώδη περιοχή $dx$ γύρω από οποιαδήποτε θέση $x$ είναι μηδενική. Δηλαδή αν η συνάρτηση

$\psi=A\,\sin(\frac{2\pi x}{\lambda})$

ήταν κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου, το σωματίδιο δεν θα ανιχνευόταν κάπου στον άξονα $x$ . Άρα αυτή δεν μπορεί να είναι στιγμιότυπο κυματοσυνάρτησης.

(β) Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι οι αρμονικές συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε καθορισμένη ορμή είναι άχρηστες: Παίζουν έναν μαθηματικό ρόλο που είναι εντελώς ανεξάρτητος από τη φυσική τους ερμηνεία.
Όπως την κίνηση ενός βλήματος την αναλύουμε σε συνιστώσες, οριζόντια και κατακόρυφη, κάθε κυματοσυνάρτηση ελεύθερου σωματιδίου που ικανοποιεί την (1) μπορούμε να τη θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα της επαλληλίας ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων, με επιλεγμένα πλάτη και μήκη κύματος. Όπως συμβαίνει και με τα μηχανικά κύματα. Δηλαδή μπορούμε να φτιάξουμε και να περιγράψουμε μαθηματικά οποιαδήποτε κυματομορφή με τη μέθοδο της υπέρθεσης, συνδυάζοντας κατάλληλα διάφορα κύματα με επιλεγμένα μήκη κύματος πλάτη και φάσεις, ακόμη και αν αυτά τα κύματα δεν ικανοποιούν την (1).

Πρότυπα Θέματα στην Κβαντομηχανική

Εισαγωγή στην Κβαντική Φυσική
1. Κβαντική Φυσική Λυκείου χωρίς μέλαν σώμα και φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Μια απλή μαθητική εισαγωγή, βασισμένη σε ένα απλό πείραμα, που οδηγεί κατευθείαν στο κβάντο ενέργειας του φωτός και στα κυματικά χαρακτηριστικά του.

Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο
2. Ισχύει η ΑΔΟ στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο; Ισχύει η ΑΔΟ στο σύστημα φωτονίου – ελεύθερου ηλεκτρονίου; Ισχύει η ΑΔΟ στο σύστημα φωτονίου -ηλεκτρονίου-μετάλλου;
3. Απόδειξη της φωτοηλεκτρικής εξίσωσης του Einstein χωρίς φωτόνια Στην απόδειξη της φωτοηλεκτρικής εξίσωσης, δεν χρειάζεται η σωματιδιακή φύση του φωτός. Αρκεί η κβάντωση ενέργειας.

Φαινόμενο Compton
4. Προσοχή στην ενέργεια του ηλεκτρονίου Compton Στη σκέδαση Compton δεν ισχύει ο τύπος K = 1/2 mv² για την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου.
5. Το φάσμα των παραγόμενων ακτίνων Compton Από μια μονοχρωματική ακτινοβολία, μέσω του φαινομένου Compton, μπορεί να παραχθεί συνεχές φάσμα. Ποια είναι τα όριά του;

Φωτόνια
6. Το φως δεν το βλέπουμε. Η σύγχυση μεταξύ παρατήρησης και θεωρίας αποτελεί το μεγαλύτερο εμπόδιο στην κατανόηση της Κβαντομηχανικής.
7. Πάντοτε το φως διαδίδεται σαν κύμα. Σε ποια περίπτωση μπορούμε εναλλακτικά να φανταστούμε ότι διαδίδεται σαν σωματίδια;
8. Υπολογισμός της μάζας του φωτονίου. Όταν το φως διαδίδεται κατακόρυφα προς τα κάτω, η ενέργειά του αυξάνεται. Από αυτό προσδιορίζουμε μια ποσότητα που συμπεριφέρεται σαν μάζα του φωτονίου.
9. Πόση δύναμη ασκούν τα φωτόνια; Υπολογισμός της δύναμης που ασκούν τα φωτόνια στις φωτιζόμενες επιφάνειες.
10. Προσδιορισμός της δύναμης που ασκούν τα φωτόνια στα ηλεκτρόνια Προσδιορισμός της δύναμης που ασκείται από τα φωτόνια Compton στα ηλεκτρόνια, σε συνάρτηση με το μήκος του φωτονίου.

Κύματα de Broglie
11. Κύματα de Broglie χωρίς ηλεκτρόνια Μια απλή μαθητική εισαγωγή στα κύματα de Broglie, χωρίς να αναφερθούμε σε ηλεκτρόνια.

Εξίσωση Schrodinger
12. Μια απλή κυματοσυνάρτηση Τα γενικά χαρακτηριστικά των κυματοσυναρτήσεων αποκαλύπτονται με ένα απλό παράδειγμα.
13. Ποια γνωστά φαινόμενα δεν εξηγεί η εξίσωση Schrodinger; Η εξίσωση Schrodinger δεν μπορεί να εξηγήσει: την ακτινοβολία του μέλανος σώματος, το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο και το φαινόμενο Compton.

Δεν υπάρχουν σωματίδια καθορισμένης ορμής. Ωστόσο από αυτά φτιάχνονται τα υπαρκτά σωματίδια.

Πρότυπα Θέματα στην Κβαντομηχανική

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής