Ανάλυση μιας κύλισης σε δύο ΑΑΤ

Γιατί μας ενδιαφέρει Με μια εξίσωση η κύλιση αναλύεται σε δύο ΑΑΤ.

Στο Σχήμα φαίνεται ένας δίσκος ακτίνας R, που κυλίεται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω, ως προς το κέντρο του δίσκου. Σ είναι ένα τυχαίο σημείο στην περιφέρεια του δίσκου. Χωρίς να αναφερθείτε στη μεταφορική και τη στροφική κίνηση του δίσκου, να προσδιορίσετε: τη θέση του Σ, την ταχύτητά του και την επιτάχυνσή του.

Απάντηση

Στην Εικόνα φαίνεται ένα σύστημα συντεταγμένων xy στερεωμένο στο δάπεδο. Ως προς αυτό το σύστημα η συντεταγμένη της θέσης του Σ στο άξονα x είναι:

x=x_{cm}+R\,\eta\mu\,\theta \,\,\,\,(1)

Επειδή ο δίσκος κυλίεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ισχύει

\theta=\omega t\,\,\,\,(2)

(Στην τελευταία σχέση έχουμε θεωρήσει ότι πατήσαμε το χρονόμετρο τη στιγμή που \theta =0).

Άρα από την (1) και τη (2) προκύπτει:

x=x_{cm}+R\,\eta\mu\,\omega t\,\,\,\,(3)

Η ποσότητα R\,\eta\mu\,\omega t προσομοιάζει με απομάκρυνση ΑΑΤ. Άρα για την προβολή της ταχύτητας στο άξονα x ισχύει:

v_x=v_{cm}+R\omega\, \sigma\upsilon\nu\,\omega t\,\,\,(4)

Επειδή ο δίσκος κυλίεται, ισχύει:

\Delta x_{cm}=R\Delta \theta \Rightarrow

v_{cm}=R\omega\,\,\,\,(5)

Από την (4) και την (5) προκύπτει:

v_x = R\omega+R\omega\, \sigma\upsilon\nu\,\omega t \,\,\,\,(6)

Από την τελευταία σχέση για την προβολή της επιτάχυνσης στο άξονα x, προκύπτει:

\alpha_x=-R\omega^2 \eta\mu\,\omega t

Η συντεταγμένη της θέσης του Σ στον άξονα y είναι:

y=R\,\sigma\upsilon\nu\,\theta \Rightarrow

y=R\,\sigma\upsilon\nu\,\omega t\,\,\,\,(7)

ή

y=R\,\eta\mu(\omega t+\frac{\pi}{2})

Η τελευταία σχέση προσομοιάζει με απομάκρυνση ΑΑΤ. Άρα για την προβολή της της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στον άξονα y προκύπτει αντίστοιχα:

v_y=R\omega \,\sigma\upsilon\nu(\omega t+\frac{\pi}{2})\Rightarrow

v_y=-R\omega\,\eta\mu\,\omega t

και

\alpha_y=-R\omega^2\,\eta\mu(\omega t+\frac{\pi}{2})\Rightarrow

\alpha_y=-R\omega^2\,\sigma\upsilon\nu\,\omega t

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Απάντηση

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading