Κρούση σωμάτων που έλκονται μεταξύ τους

Με λίγα λόγια: Δύο αντίθετα ηλεκτρισμένα σωματίδια, ελκόμενα αμοιβαία, αρχικά πλησιάζουν και κατόπιν απομακρύνονται σε άπειρη απόσταση. Όταν οι μάζες τους είναι ίσες, οι τελικές ταχύτητες των σωματιδίων είναι κάθετες μεταξύ τους.

Γιατί μας ενδιαφέρει: Η θεωρία της ελαστικής κρούσης ισχύει και όταν ασκούνται ελκτικές δυνάμεις κατά την “κρούση”.

Στην εικόνα φαίνονται τρία διαδοχικά στιγμιότυπα της κίνησης των σωματιδίων ${\Sigma}_1$ και ${\Sigma}_2$ , που έλκονται μεταξύ τους. Τα σωματίδια έχουν ίσες μάζες και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Αρχικά η απόσταση μεταξύ τους ήταν πρακτικά άπειρη και το ${\Sigma}_2$ ήταν ακίνητο. Να αποδείξετε ότι όταν η απόσταση των σωματιδίων γίνει πάλι πρακτικά άπειρη, οι ταχύτητές τους θα είναι κάθετες μεταξύ τους.

Απάντηση

Από την αρχή διατήρησης τη ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων από τη στιγμή που η απόσταση μεταξύ τους ήταν άπειρη μέχρι η απόστασή τους να γίνει πάλι άπειρη προκύπτει:

$\vec{p}_1 = \vec{p'}_1+\vec{p'}_2\Rightarrow$

$\vec{p^{}}_{1}^2=\vec{p'}_1^2+\vec{p'}_2^2 +|\vec{p'}_1||\vec{p'}_2|\, \sigma \upsilon \nu \, \theta$ $%$ (1)

όπου $\vec{p}_1$ και $\vec{p'}_1$ είναι η αρχική και η τελική ορμή του ${\Sigma}_1$ και $\vec{p'}_2$ είναι η τελική ορμή του ${\Sigma}_2$

Θεωρούμε ότι όταν η απόσταση μεταξύ των ηλεκτρισμένων σωματιδίων είναι άπειρη, η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο σωματιδίων είναι μηδενική. Άρα από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για το σύστημα των δύο σωμάτων από τη στιγμή που η απόσταση μεταξύ τους ήταν άπειρη μέχρι τη στιγμή που η απόστασή τους να γίνει πάλι άπειρη προκύπτει:

$\frac{\vec{p^{}}_{1}^2}{m_1}=\frac{\vec{p'}_1^2}{m_1}+\frac{\vec{p'}_2^2}{m_2}$

όπου $m_1$ και $m_2$ είναι οι μάζες των σωματιδίων ${\Sigma}_1$ και ${\Sigma}_2$ αντίστοιχα. Επειδή οι μάζες είναι ίσες μεταξύ τους από την προηγούμενη σχέση προκύπτει: