Ο Ήλιος ασκεί διπλάσια δύναμη στη Σελήνη από όσο η Γη

Ο Ήλιος ασκεί διπλάσια δύναμη στη Σελήνη από όσο η Γη. Γιατί ο Ήλιος αφήνει τη Σελήνη να γυρίζει γύρω από τη Γη;

Ανδρέας Βαλαδάκης

Στην Εικόνα φαίνονται στην ίδια ευθεία, διαδοχικά, η Σελήνη, η Γη και ο Ήλιος. $\vec{F}_1$ είναι η δύναμη που ασκείται στη Σελήνη από τον Ήλιο. $\vec{F}_2$ είναι η δύναμη που ασκείται στη Σελήνη από τη Γη και $-\vec{F_2}$ είναι η αντίδρασή της που ασκείται στη Γη από τη Σελήνη. $\vec{F_3}$ είναι η δύναμη που ασκείται στη Γη από το Ήλιο. Για τις μάζες του Ήλιου και της Γης ισχύει $M_3= 3,2 \cdot 10^5 M_2$ . Για τη μάζα της Γης και της Σελήνης ισχύει $M_2=80 M_1$ . Τέλος $R_1=400\,(R_1-R_2)$ , όπου $R_1$ είναι η απόσταση Ήλιου-Σελήνης και $R_2$ είναι η απόσταση Ήλιου-Γης. Να θεωρήσετε ότι η κίνηση της Γης και της Σελήνης γύρω από τον Ήλιο είναι ομαλή κυκλική με γωνιακή ταχύτητα ω.

Να υπολογίσετε το λόγο του μέτρου της δύναμης που ασκείται από τον Ήλιο στη Σελήνη προς το μέτρο της δύναμης που ασκείται από το Γη στη Σελήνη.
Να αποδείξετε ότι:

$F_2=M_1\omega^2\,(R_1-R_2)$ .

Αυτή είναι η κεντρομόλος δύναμη που αντιστοιχεί στην κυκλική κίνηση της Σελήνης γύρω από τη Γη.

Απαντήσεις

Σύγκριση της δύναμης που ασκείται στη Σελήνη από τον Ήλιο με τη δύναμη που ασκείται στη Σελήνη από τη Γη.

Από το νόμο της παγκόσμιας έλξης για τη δύναμη που ασκείται από το Ήλιο στη Σελήνη ισχύει:

$F_1=G\frac{M_HM_1}{R^2_1}\,\,\,\, (1)$

Ομοίως για τη δύναμη που ασκείται από τη Γη στη Σελήνη ισχύει: Από την (1) και τη (2) προκύπτει:

$F_2=G\frac{M_2 M_1}{(R_1-R_2)^2}\,\,\,\, (2)$

Από την (1) και την (2) προκύπτει:

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{M_3M_1}{M_2 M_1}\left( \frac{R_1-R_2}{R_1} \right)^2\Rightarrow$

$\boxed{\boxed{\frac{F_1}{F_2}= 3,2\cdot 10^5 \left( \frac{1}{400} \right)^2= 2}}$

Η κεντρομόλος επιτάχυνση της Σελήνης γύρω από τον Ήλιο

$\boxed{\frac{v^2_1}{R_1}=\omega^2 R_1=\frac{F_1}{M_1}+\frac{F_2}{M_1}}\,\,\,\, (3)$

Η κεντρομόλος επιτάχυνση της Γης γύρω από τον Ήλιο

$\boxed{\frac{v^2_2}{R_2}=\omega^2 R_2=\frac{F_3}{M_2}-\frac{F_2}{M_2}} \,\,\,\,(4)$

Η κεντρομόλος επιτάχυνση της Σελήνης γύρω από τον Ήλιο είναι πρακτικά ίση με την κεντρομόλο επιτάχυνση της Γης γύρω από τον Ήλιο.

Από το νόμο της παγκόσμιας έλξης για τη Σελήνη (σχέση (1)) προκύπτει:

$\frac{F_1}{M_1}=G\frac{M_H}{R^2_1} \,\,\,\, (5)$

Ομοίως από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης για τη Γη προκύπτει:

$\frac{F_3}{M_2}=G\frac{M_3}{R^2_2}\,\,\,\, (6)$

Επειδή $R_{1}=400\,(R_1-R_2)$ προκύπτει: $R_2=0,99\,R_1$ . Άρα η $R_1$ είναι πρακτικά ίση με $R_2$ και γι’ αυτό από την (5) προκύπτει:

$\frac{F_1}{M_1}\approx G\frac{M_3}{R^2_2}\,\,\,\, (7)$

Άρα από την (6) και την (7) προκύπτει:

$\boxed{\frac{F_1}{M_1}\approx \frac{F_3}{M_2}}\,\,\,\, (8)$

Άρα ο Ήλιος προκαλεί πρακτικά την ίδια επιτάχυνση στη Γη και στη Σελήνη

Η κοινή επιτάχυνση Γης και Σελήνης (ως προς τον Ήλιο) δεν επηρεάζει τη σχετική κίνησή τους

Από την (3) και την (8) προκύπτει:

$\omega^2 R_1=\frac{F_3}{M_2}+\frac{F_2}{M_1} \,\,\,\,(9)$

Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (9) και (4) προκύπτει:

$\omega^2 \,(R_1-R_2)=\frac{F_2}{M_1}+\frac{F_2}{M_2} \Rightarrow$

$\boxed{\omega^2 \,(R_1-R_2)=F_2\,(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2})}$

Άρα η κοινή επιτάχυνση Γης και Σελήνης (ως προς τον Ήλιο) δεν επηρεάζει τη σχετική κίνησή τους

Η κίνηση της Σελήνης γύρω από τη Γη

Επειδή $M_2=80\,M_1$ , από την προηγούμενη σχέση προκύπτει πρακτικά ότι:

$\boxed {\boxed{F_2=M_1\omega^2\,(R_1-R_2)}}$ .

Επειδή $R_1-R_2$ είναι η απόσταση της Σελήνης από τη Γη, η τελευταία σχέση αντιστοιχεί στην κεντρομόλο δύναμη της κυκλικής κίνησης της Σελήνης γύρω από το Γη.