Ακινητοποίηση σώματος, κατά την κρούση σωμάτων διαφορετικής μάζας

Γιατί μας ενδιαφέρει: Όταν ένα κινούμενο σώμα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα ίσης μάζας, το κινούμενο σώμα ακινητοποιείται. Όταν τα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες και κινούνται, υπάρχει περίπτωση το ένα από αυτά να ακινητοποιηθεί;

Δύο σώματα, μάζας $m_1$ και $m_2$ αντίστοιχα κινούνται με ταχύτητες $v_1$ και $v_2$ αντίστοιχα και συγκρούονται μεταξύ τους, κεντρικά και ελαστικά.

(α) Να αποδείξετε ότι, όταν τα σώματα κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις, για να ακινητοποιηθεί το σώμα μάζας $m_1$ , θα πρέπει $m_1>m_2$ και $|v_2|=\frac{m_1-m_2}{2m_2}|v_1|$ .

(β) Να αποδείξετε ότι, όταν τα σώματα κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, για να ακινητοποιηθεί το σώμα μάζας $m_1$ , θα πρέπει $m_2>m_1$ και $|v_2|=\frac{m_2-m_1}{2m_2}|v_1|$ .

Απάντηση

Επειδή τα σώματα συγκρούονται μεταξύ τους κεντρικά και ελαστικά, ισχύει:

$v'_1 = \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1$ $%$ (1)

όπου $v'_1$ είναι η ταχύτητα του σώματος μάζας $m_1$ μετά την κρούση. Αν το σώμα μάζας $m_1$ ακινητοποιηθεί, θα ισχύει: $v'_1=0$ . Άρα από την (1) προκύπτει:

$0= \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 \Rightarrow$

$v_2 = \frac{m_2-m_1}{2m_2}v_1$ $%$ (1)

(α) Όταν το ένα σώμα κινείται αντίθετα από το άλλο, επιλέγοντας ως θετική την κατεύθυνση της $v_1$ , θα έχουμε: $v_1 = |v_1|$ και $v_2 = -|v_2|$ . Άρα η (1) γίνεται:

$-|v_2| = \frac{m_2-m_1}{2m_2}|v_1| \Rightarrow$

$|v_2|= \frac{m_1-m_2}{2m_2}|v_1|$

Επειδή $|v_1|>0$ και $|v_2|>0$ , για να ισχύει η προηγούμενη σχέση θα πρέπει:

$\frac{m_1-m_2}{2m_2} >0 \Rightarrow$

$m_1 > m_2$

Συμπέρασμα: Όταν $m_1>m_2$ και $|v_2|=\frac{m_1-m_2}{2m_2}|v_1|$ , το σώμα μάζας $m_1$ θα ακινητοποιηθεί.

(β) Όταν τα δύο σώματα κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, επιλέγοντας ως θετική την κατεύθυνση της $v_1$ , θα έχουμε: $v_1 = |v_1|$ και $v_2 = |v_2|$ . Άρα η (1) γίνεται: