Μια στρεφόμενη αβαρής ράβδος ασκεί μόνο ακτινική δύναμη;

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Μια στρεφόμενη αβαρής ράβδος ασκεί μόνο ακτινική δύναμη;

Γιατί μας ενδιαφέρει: Συχνά σε προβλήματα στρεφόμενης αβαρούς ράβδου ζητάμε από τους μαθητές να δεχτούν χωρίς αιτιολόγηση ότι η ράβδος ασκεί δύναμη μόνο κατά μήκος της διεύθυνσής της. Αλλά γιατί;

Ομογενής ράβδος μήκους $L$ και μάζας $m_\rho$ μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας $m_\sigma$ , η οποία είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα της ράβδου. H ράβδος αφήνεται από την οριζόντια θέση. Ποια είναι η διεύθυνση της δύναμης που ασκείται στο σφαιρίδιο από τη ράβδο;

Απάντηση

Με λίγα λόγια Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για τη ράβδο και το σφαιρίδιο. Κατόπιν βρίσκουμε τη μορφή του ΘΜΚΕ για το σύστημα των δύο σωμάτων. Τέλος βρίσκουμε ποια μορφή παίρνει το ΘΜΚΕ του συστήματος, όταν η μάζα της ράβδου είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα του σφαιριδίου.

1. Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για τη ράβδο:

$W_{w_\rho}+W_{\rho \sigma} = K_{\rho}\,\,\,\,(1)$

όπου $W_{w_{\rho}}$ είναι το έργο του βάρους της ράβδου, $W_{\rho \sigma}$ είναι το έργο της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από το σφαιρίδιο (δεν έχουμε σχεδιάσει αυτή τη δύναμη, γιατί δεν γνωρίζουμε τα χαρακτηριστικά της) και $K_{\rho}$ η κινητική ενέργεια της ράβδου.

2. Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για το σφαιρίδιο.

$W_{w_{\sigma}}+W_{\sigma\rho}=K_{\sigma}\,\,\,\,(2)$

όπου $W_{w_{\sigma}}$ είναι το έργο του βάρους του σφαιριδίου, $W_{\sigma\rho}$ είναι το έργο της δύναμης που ασκείται στο σφαιρίδιο από τη ράβδο (δεν έχουμε σχεδιάσει αυτή τη δύναμη, γιατί δεν γνωρίζουμε τα χαρακτηριστικά της) και $K_{\sigma}$ η κινητική ενέργεια του σφαιριδίου.

Λόγω του 3ου νόμου του Νεύτωνα, η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το σφαιρίδιο είναι αντίθετη από τη δύναμη που ασκείται στο σφαιρίδιο από τη ράβδο. Επίσης η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής των δύο δυνάμεων είναι ίσες. Άρα $W_{\sigma\rho}=-W_{\rho\sigma }$ .

3. Βρίσκουμε το ΘΜΚΕ για το σύστημα ράβδος – σφαιρίδιο

Προσθέτοντας κατά μέλη την (1) με τη (2) προκύπτει:

$W_{w_{\rho}}+W_{w_{\sigma}}= K_{\rho}+K_{\sigma}\,\,\,\,(3)$

4. Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι η μάζα της ράβδου είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα του σφαιριδίου.

Για το έργο του βάρους ισχύει $W_{w_{\rho}}=m_{\rho}\;g\;\frac{L}{2}\;\eta\mu\,\theta$ και $W_{w_{\sigma}}=m_{\sigma}\;g\;L\;\eta\mu\,\theta$ . Επειδή η $m_{\sigma}$ είναι πολύ μεγαλύτερη από τη $m_{\rho}$ , από τις δύο προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι το $W_{w_{\sigma}}$ είναι πολύ μεγαλύτερο από το $W_{w_{\rho}}$ . Άρα (3) πρακτικά γίνεται:

$W_{w_{\sigma}}= K_{\rho}+K_{\sigma}\,\,\,\,(4)$

Επίσης η κινητική ενέργεια $K_{\rho}$ της ράβδου είναι πολύ μικρότερη από την κινητική ενέργεια $K_{\sigma}$ του σφαιριδίου για δύο λόγους:

Αν όλη η μάζα της ράβδου ήταν συγκεντρωμένη σε απόσταση $L$ από το άξονα περιστροφής, η ταχύτητά της θα ήταν ίση με την ταχύτητα του σφαιριδίου. Ωστόσο επειδή η $m_{\rho}$ είναι πολύ μικρότερη από τη $m_{\sigma}$ , η $K_{\rho}$ θα ήταν πολύ μικρότερη από το $K_{\sigma}$ .
Στην πραγματικότητα η $K_{\rho}$ είναι ακόμη πιο μικρή από την $K_{\sigma}$ , διότι η μάζα της ράβδου κατανέμεται σε όλο το μήκος $L$ και γι’ αυτό η ταχύτητα κάθε στοιχειώδους μάζας της είναι μικρότερη από την ταχύτητα του σφαιριδίου.

Άρα η (4) πρακτικά γίνεται:

$W_{w_{\sigma}}=K_{\sigma}$

Συγκρίνοντας αυτή τη σχέση με την (1) συμπεραίνουμε ότι πρακτικά ισχύει:

$W_{\sigma\rho}=0$

Δηλαδή η δύναμη που ασκείται στο σφαιρίδιο από τη ράβδο πρακτικά δεν εκτελεί έργο. Συνεπώς κάθετα στη ράβδο η συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στο σωματίδιο από τη ράβδο είναι μηδενική. Άρα, όταν η μάζα της ράβδου είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα του σφαιριδίου, η δύναμη που ασκείται στο σφαιρίδιο από τη ράβδο, διευθύνεται πρακτικά μόνο κατά μήκος της ράβδου, δηλαδή ακτινικά. Τότε τη μάζα την ονομάζουμε αβαρή.

Παρατήρηση Ακολουθώντας παρόμοια βήματα η απάντηση μπορεί να δοθεί και χρησιμοποιώντας το 2ο νόμο του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση.