Πρότυπα Θέματα Φυσικής
Η οριζόντια βολή δεν μπορεί να προσεγγιστεί με όλο πιο μικρά διαδοχικά πλάγια επίπεδα
Ανδρέας Βαλαδάκης
Στην Εικόνα φαίνονται οι τροχιές δύο σωμάτων: Η πάνω τροχιά αντιστοιχεί στην κίνηση ενός σώματος που έχει εκτοξευθεί οριζόντια και κινείται χωρίς την επίδραση του αέρα. Η κάτω τροχιά αντιστοιχεί στην κίνηση ενός σώματος που ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε δύο διαδοχικά πλάγια επίπεδα και εφάπτεται συνεχώς σε αυτά. Είναι σαφές από την Εικόνα ότι όσο μικρότερο είναι το μήκος της καμπύλης, τόσο μικρότερη θα είναι η διαφορά μεταξύ των δύο τροχιών. Να αποδείξετε ότι το χρονικό διάστημα κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου ΑΒ είναι πάντα μεγαλύτερο από το χρονικό διάστημα κατά την αντίστοιχη κίνηση της οριζόντιας βολής, ανεξάρτητα από το πόσο λίγο διαφέρουν το μήκη των τροχιών.
Απάντηση
Για το τμήμα της οριζόντιας βολής που αντιστοιχεί στο πλάγιο επίπεδο ΑΒ ισχύει:
όπου vAy είναι η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας του σώματος στο Α.
Για την κίνηση πάνω στο πλάγιο επίπεδο ΑΒ ισχύει:
όπου vA είναι η ταχύτητα στο Α όταν το σώμα κινείται κατά μήκος του ΑΒ.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προκύπτει: Δy=Δs ημ θ
Άρα:
Επειδή οι κατακόρυφες μετατοπίσεις των δύο σωμάτων είναι ίσες μεταξύ τους, από ΑΔΜΕ και για της δύο περιπτώσεις προκύπτει:
Συνεπώς:
Πού τελικά οφείλεται η διαφορά στους χρόνους;
Ο χρόνος Δt στο τμήμα ΑΒ της οριζόντιας βολής προσδιορίζεται από την κατακόρυφη συνιστώσα vΑy της ταχύτητας, την επιτάχυνση g και την κατακόρυφη μετατόπιση Δy του σώματος.
Αντίστοιχα ο χρόνος Δt’ της κίνησης πάνω στο πλάγιο επίπεδο προσδιορίζεται από την αρχική ταχύτητα vΑ, την επιτάχυνση gημ θ και τη μετατόπιση s κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου.
Από την ΑΔΜΕ προκύπτει vΑy = vΑ αλλά g > gημ θ και y < s. Δηλαδή τα σώματα έχουν την ίδια αρχική ταχύτητα αλλά το σώμα στο πλάγιο επίπεδο κινείται με μικρότερη επιτάχυνση και διανύει μεγαλύτερη απόσταση. Συνεπώς ο χρόνος κίνησής του θα είναι πάντα μεγαλύτερος, ανεξάρτητα από το πόσο λίγο διαφέρουν τα μήκη των τροχιών.
Απάντηση