Γιατί μας ενδιαφέρει Μαγνητικό πεδίο υπάρχει οπουδήποτε υπάρχει προσανατολισμένη κίνηση ηλεκτρικού φορτίου.

Στο Σχήμα φαίνεται τμήμα κυλινδρικού αγωγού, ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα . Το ρεύμα κατανέμεται ομοιόμορφα στη διατομή του αγωγού. Να αποδείξετε ότι σε απόσταση από τον άξονα του αγωγού το μέτρο του μαγνητικού πεδίου είναι , όπου είναι η ακτίνα του αγωγού.

Απάντηση

Η μορφή του μαγνητικού πεδίου

Από το νόμο των Biot και Savart προκύπτει ότι το μαγνητικό πεδίο σε κάθε σημείο, έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το σημείο και τον άξονα του αγωγού, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Επίσης, λόγω συμμετρίας του αγωγού, το μαγνητικό πεδίο πρέπει να έχει το ίδιο μέτρο σε όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τον άξονα του αγωγού. Άρα σε απόσταση το διάνυσμα του μαγνητικού πεδίου θα είναι εφαπτόμενο στο κύκλο που είναι κάθετος στον άξονα του αγωγού και έχει κέντρο στον άξονα.

Το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου

Χωρίζουμε τον κύκλο σε πολύ μικρά τμήματα και εφαρμόζουμε τον νόμο του Ampère

(1),

όπου το μέρος του ηλεκτρικού ρεύματος που διέρχεται από την επιφάνεια που περικλείει ο κύκλος. Επειδή πάνω στον κύκλο το μαγνητικό πεδίο έχει σταθερό μέτρο και είναι εφαπτόμενο στο κύκλο, δηλαδή , από την (1) προκύπτει:

(2).

Το εμβαδό της διατομής του αγωγού είναι και μέσα από αυτό διέρχεται ρεύμα . Το εμβαδόν του κύκλου που έχουμε επιλέξει είναι και μέσα από αυτό διέρχεται ρεύμα . Επειδή το ηλεκτρικό ρεύμα κατανέμεται ομοιόμορφα στη διατομή του αγωγού θα ισχύει: (3).

Από τη (2) και την (3) προκύπτει .

Παρατήρηση

Στη σχέση , θέτοντας , προκύπτει το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου στην επιφάνεια του αγωγού, δηλαδή .

Το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίο σε ένα σημείο που βρίσκεται εκτός του αγωγού, σε απόσταση από τον άξονα του αγωγού, δίνεται από τη σχέση . Από αυτή τη σχέση, θέτοντας προκύπτει επίσης το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου στην επιφάνεια του αγωγού, δηλαδή .

Παρατηρούμε ότι αυτό το αποτέλεσμα συμπίπτει με εκείνο που βρήκαμε χρησιμοποιώντας τη σχέση του μέτρου του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του αγωγού.