Πότε ένα ελατήριο “χάνει” την ελαστικότητά του;

Γιατί μας ενδιαφέρει Σε μια απλή περίπτωση το ελατήριο “χάνει” την ελαστικότητά του και συμπεριφέρεται σαν μη εκτατό νήμα.

Ελατήριο σταθεράς $k$ βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και το ένα άκρο του είναι στερεωμένο σε σταθερό σημείο του επιπέδου. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου είναι συνδεδεμένο σώμα μάζας $m$ , που μπορεί να κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς τριβές.

Αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του, $L$ , και η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι οριζόντια και κάθετη στο ελατήριο. Στο Σχήμα φαίνονται δύο περιπτώσεις κίνησης του σώματος: Στην πρώτη περίπτωση η κίνηση είναι τυχαία. Στη δεύτερη περίπτωση η κίνηση του σώματος προσομοιάζει με ομαλή, κυκλική κίνηση. Να αποδείξετε ότι για να προσομοιάζει η κίνηση του σώματος με ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας $L$ , θα πρέπει η γωνιακή ταχύτητα της κίνησης να είναι πολύ μικρότερη από την ποσότητα $\sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Απάντηση

Όταν το σώμα βρίσκεται σε απόσταση $r$ από το κέντρο της κυκλικής κίνησης, το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά $r-L$ και γι’ αυτό ασκεί στο σώμα δύναμη $k(r-L)$ , η οποία είναι κεντρομόλος. Συνεπώς, επειδή η κίνηση προσομοιάζει με ομαλή κυκλική, ισχύει:

$k(r-L)=\frac{mv^2}{r}\Rightarrow$

$k(r-L)=\frac{m\omega^2r^2}{r}\Rightarrow$

$\frac{r-L}{r}=\frac{m\omega^2}{k}\qquad(1)$

όπου $v$ η γραμμική ταχύτητα του σώματος και $\omega$ η γωνιακή ταχύτητά του.

Επειδή η κίνηση του σώματος προσομοιάζει με κυκλική ακτίνας $L$ , η παραμόρφωση του ελατηρίου είναι πολύ μικρότερη από την $L$ και γι’ αυτό ισχύει:

$\frac{r-L}{r}\ll 1\overset{(1)}{\Rightarrow}$

$\frac{m\omega^2}{k}\ll 1 \Rightarrow$

$\omega \ll \sqrt{\frac{k}{m}}$

Συμπέρασμα

Αυτή η συνθήκη είναι απαραίτητη για να προσομοιάζει η κίνηση του σώματος με ομαλή κυκλική, δηλαδή το ελατήριο να συμπεριφέρεται σαν μη εκτατό νήμα.

Παρατήρηση

Όταν ένα σύστημα ελατήριο-σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση και η γωνιακή συχνότητα $\omega$ του διεγέρτη διαφέρει σημαντικά από τη γωνιακή ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, $\omega_0=\sqrt {\frac{k}{m}}$ , το πλάτος της ταλάντωσης είναι αμελητέο. Και σε αυτή την περίπτωση λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι το ελατήριο “χάνει” την ελαστικότητά του.

Και στις δύο περιπτώσεις, η «απώλεια» ελαστικότητας είναι φαινομενική: Ο νόμος του Hooke συνεχίζει να ισχύει και η σταθερά του ελατηρίου δεν αλλάζει. Δηλαδή αναφερόμαστε στη συμπεριφορά του ελατηρίου και όχι σε πραγματική μεταβολή των φυσικών ιδιοτήτων του: Ο χορευτής δεν έχει χάσει την ικανότητά του. Απλώς δεν τον βοηθάει ο ρυθμός!