Προσοχή στην ενέργεια του ηλεκτρονίου Compton

Ανδρέας Βαλαδάκης

Σε μια σκέδαση Compton ένα φωτόνιο ορμής $p$ σκεδάζεται από ένα ηλεκτρόνιο, σε γωνία $180^\circ$ . Αρχικά το ηλεκτρόνιο ήταν πρακτικά ακίνητο.

(α) Στη σκέδαση Compton επιβεβαιώνεται πειραματικά ότι δεν ισχύει ο τύπος $K=\frac{p_e^2}{2m_e}$ για την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου. Χρησιμοποιώντας τον τύπο της σκέδασης Compton, την ΑΔΕ και την ΑΔΟ να προσδιορίστε τον σωστό τύπο της κινητικής ενέργειας του ηλεκτρονίου.

(2) Να αποδείξετε ότι, όταν $p<<m_ec$ , τότε ισχύει πρακτικά $K=\frac{p_e^2}{2m_e}$

Απαντήσεις

(α) Σε μια σκέδαση Compton όταν ένα φωτόνιο εκτρέπεται σε γωνία $180^\circ$ από ένα αρχικά ακίνητο ηλεκτρόνιο ισχύει:

$\lambda'-\lambda=\frac{2h}{m_ec}\Rightarrow$
$\frac{1}{p'}-\frac{1}{p}=\frac{2}{m_ec}\Rightarrow$
$\frac{p-p'}{p'p}=\frac{2}{m_ec}\Rightarrow$

$m_ec(p-p')=2pp'\,\,\,\,(1)$

ΑΔΕ:

$pc=p'c+K \Rightarrow$
$p-p'=\frac{K}{c}\,\,\,\,(2)$

ΑΔΟ

$p=-p'+p_e\Rightarrow$
$p+p'=p_e\,\,\,\,(3)$

Προσθέτουμε κατά μέλη τη (2) και την (3):

$p=\frac{1}{2}(\frac{K}{c}+p_e)$

Αφαιρούμε κατά μέλη την (2) από τη (3):

$p'=\frac{1}{2}(p_e-\frac{K}{c})$

Αντικαθιστώντας την $p$ και την $p'$ στην (1) προκύπτει:

$K^2+2m_ec^2K-p_e^2c^2=0\,\,\,\,(4)$

Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το $K$ . Επειδή η κινητική ενέργεια είναι θετική ποσότητα η αποδεκτή λύση είναι:

$\boxed{K=\sqrt{m_e^2c^4+p_e^2c^4}-m_ec^2}\,\,\,\,(5)$

Συμπέρασμα Όταν σε μια σκέδαση Compton το φωτόνιο σκεδάζεται με γωνία $180^\circ$ από ένα πρακτικά ακίνητο ηλεκτρόνιο, η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου δεν δίνεται από τη σχέση

$K=\frac{p_e^2}{2m_e}$

αλλά από την (5).

(β) Από την (4) παίρνουμε:

$\frac{K}{2m_ec^2}+1=\frac{p_e^2}{2m_eK}\,\,\,\,(6)$

Για $p<<m_ec$ προκύπτει $p-p'<<m_ec$ και λόγω της (2) παίρνουμε:

$\frac{K}{c}<<m_ec\Rightarrow\frac{K}{m_ec^2}<<1\Rightarrow\frac{K}{2m_ec^2}<<1$

Άρα από την (6) προκύπτει πρακτικά:

$\boxed{K=\frac{p_e^2}{2m_e}}$

Συμπέρασμα Σε μια σκέδαση Compton, όταν το φωτόνιο με ορμή $p<<m_ec$ σκεδάζεται σε γωνία $180^\circ$ , τότε για την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου ισχύει πρακτικά ο γνωστός τύπος $K=\frac{p_e^2}{2m_e}$

Σημαντική παρατήρηση

Αν και τα συμπεράσματά μας προέκυψαν στην ειδική περίπτωση για γωνία σκέδασης $180^\circ$ , αποδεικνύεται ότι ισχύουν για κάθε γωνία σκέδασης. Δηλαδή η για κάθε γωνία σκέδασης του φωτονίου η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι:

$K=\sqrt{m_e^2c^4+p_e^2c^4}-m_ec^2$

και μόνο στην ειδική περίπτωση, όταν $p<<m_ec$ , η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση:

$K=\frac{p_e^2}{2m_e}$

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

στην Κβαντομηχανική

Προσοχή στην ενέργεια του ηλεκτρονίου Compton

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής