Ισορροπία δύο στερεών σωμάτων σε επαφή μεταξύ τους

Γιατί μας ενδιαφέρει: Όταν δύο σώματα ισορροπούν ασκώντας δύναμη το ένα στο άλλο, σε κάθε σώμα ξεχωριστά ισχύουν οι εξισώσεις ισορροπίας. Μια επιπλέον εξίσωση προκύπτει από τον 3ο νόμο του Νεύτωνα, για τη δύναμη που ασκεί το ένα σώμα στο άλλο.

Στο σχήμα φαίνεται ένα σώμα, το οποίο έχει ανασηκωθεί από το έδαφος και ισορροπεί με τη βοήθεια μιας ράβδου, ΑΓ, αμελητέας μάζας. Στο σημείο Β η ράβδος έρχεται σε επαφή με το σώμα, στο σημείο Γ με το έδαφος και σχηματίζει γωνία $\phi$ με αυτό. Στο πάνω άκρο της ράβδου, κάθετα σ’ αυτή, ασκείται δύναμη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Μεταξύ τη ράβδου και του σώματος δεν υπάρχει τριβή ενώ μεταξύ της ράβδου και του εδάφους καθώς και μεταξύ του σώματος και του εδάφους υπάρχει τριβή. Να αποδείξετε ότι ο λόγος του μέτρου της τριβής μεταξύ του σώματος και του εδάφους προς το μέτρο της δύναμης $\vec{F}$ είναι: $\frac{A\Gamma}{B\Gamma}\,\eta \mu \, \phi$ .

Απάντηση

Ισορροπία της ράβδου: Επειδή η ράβδος ισορροπεί, η ροπή των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτή ως προς το Γ είναι μηδενική: $%$ $|\vec{F}| A \Gamma -|\vec{N'_1}| B \Gamma=0 \Rightarrow$ $%$ $|\vec{N'_1}|=|\vec{F}| \frac{A\Gamma}{B\Gamma}$ $%$ (1)

Ισορροπία του σώματος: Επειδή το σώμα ισορροπεί, η συνισταμένη των δυνάμεων στο άξονα $x$ είναι μηδενική: $|\vec{T_2}|=|\vec{N_1}|\,\eta \mu \, \phi$ $%$ (2)

3ος νόμος του Νεύτωνα: Από τον 3ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: $|\vec{N_1}|=|\vec{N'_1}|$ $%$ (3)

Από την (1), (2) και (3) προκύπτει: $|\vec{T_2}|=|\vec{F}| \frac{A\Gamma}{B\Gamma}\,\eta \mu \, \phi \Rightarrow$ $%$ $\frac{|\vec{T}_2|}{|\vec{F}|}=\frac{A\Gamma}{B\Gamma}\,\eta \mu \, \phi$