Από τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας στον 3ο νόμο του Νεύτωνα

Δύο σώματα συνδέονται μεταξύ τους με ελατήριο. Εφαρμόζοντας τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας να αποδείξετε ότι το ελατήριο ασκεί δυνάμεις που υπακούουν στον 3ο νόμο του Νεύτωνα.

Απάντηση

Γνωρίζουμε ότι όταν η παραμόρφωση του ελατηρίου είναι $\Delta x$ , η δυναμική ενέργειά του είναι:

$U= \frac{1}{2}k\,\Delta x^2\,\,\,\,(1)$

όπου $k$ είναι η σταθερά του ελατηρίου.

Γνωρίζουμε επίσης ότι όταν το μήκος του ελατηρίου μεταβάλλεται κατά μια στοιχειώδη ποσότητα $\Delta x$ , το έργο της δύναμης του ελατηρίου είναι:

$F\,\Delta x= U_{\alpha\rho\chi}-U_{\tau\epsilon\lambda}\,\,\,\,(2)$

Επειδή αρχικά το ελατήριο είναι χαλαρό (Εικόνα (α)), η αρχική δυναμική ενέργειά του είναι μηδενική. Μετακινούμε το πρώτο σώμα κατά μία στοιχειώδη ποσότητα $\Delta x$ (Εικόνα (β)), όποτε το μήκος του ελατηρίου ελαττώνεται κατά $\Delta x$ . Άρα από την (1) και τη (2) προκύπτει ότι εκτελείται έργο:

$F_1\,\Delta x=-\frac{1}{2}k\,\Delta x^2 \,\,\,\,(3)$

όπου $F_1$ είναι η δύναμη που ασκείται από το ελατήριο στο πρώτο σώμα.
Κατόπιν μετακινούμε το δεύτερο σώμα πάλι κατά $\Delta x$ (Εικόνα (γ)), οπότε το ελατήριο αποκτά πάλι το φυσικό μήκος του και εκτελείται έργο:

$F_2\,\Delta x=\frac{1}{2}k (\Delta x)^2\,\,\,\,(4)$

όπου $F_2$ η δύναμη που ασκείται στο δεύτερο σώμα από το ελατήριο.
Προσθέτοντας κατά μέλη την (3) με την (4) προκύπτει:

$F_1\,\Delta x+F_2\,\Delta x=0\Rightarrow$

$\boxed{F_1=-F_2}$

Παρατήρηση

Η απόδειξη στηρίχθηκε στο ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων συνδεδεμένων με ελατήριο εξαρτάται από τη απόσταση μεταξύ των σωμάτων.

Αυτό ισχύει και στην περίπτωση του συστήματος δύο σημειακών ηλεκτρικών φορτίων, διότι η δυναμική ενέργειά τους είναι:

$U=k_c\,\frac{q_1q_2}{r^2}$ .

Άρα με παρόμοιο τρόπο επιβεβαιώνεται ότι ο 3ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει και για τις δυνάμεις Coulomb.

Ομοίως, επειδή η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος δύο σημειακών μαζών είναι:

$U=G\,\frac{m_1m_2}{r^2}$

η δυναμική ενέργεια του συστήματος εξαρτάται από την απόσταση μεταξύ των σωμάτων. Έτσι επιβεβαιώνεται ότι και για τις βαρυτικές δυνάμεις ισχύει ο 3ος νόμος του Νεύτωνα.

Σχόλιο: Με βάση τα προηγούμενα οι μαθητές αγγίζουν ένα από τα θεμελιωδέστερα θεωρήματα της σύγχρονης Φυσικής, τα οποία συνδέουν τις συμμετρίες της Φύσης με τους νόμους διατήρησης της ορμής, της ενέργειας και της στροφορμής.

Πιο συγκεκριμένα.

Επειδή η δυναμική ενέργεια εξαρτάται μόνο από την απόσταση μεταξύ των σωμάτων, αν τοποθετήσουμε τα σώματα οπουδήποτε στο χώρο, χωρίς να αλλάξουμε την απόσταση μεταξύ τους, η συμπεριφορά των σωμάτων δεν θα αλλάξει. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι υπάρχει συμμετρία ως προς τις μεταθέσεις στο χώρο. Στη συγκεκριμένη περίπτωση λοιπόν αποδείξαμε ότι όταν υπάρχει συμμετρία ως προς τις μεταθέσεις στο χώρο, ισχύει ο 3ος νόμος του Νεύτωνα.

Γνωρίζουμε επίσης ότι όταν στο σύστημα ασκούνται μόνο δυνάμεις που υπακούουν στον 3ο νόμο του Νεύτωνα, οι δυνάμεις είναι εσωτερικές και γι’ αυτό η ορμή του συστήματος διατηρείται. Άρα η διατήρηση της ορμής είναι αποτέλεσμα της συμμετρίας ως προς τις μεταθέσεις στο χώρο.

Αυτό είναι ένα από τα θεωρήματα που ανακαλύφθηκε από τη μαθηματικό Έμιλι Νέδερ. Σύμφωνα με αυτά κάθε διατηρούμενο μέγεθος προκύπτει από μια συμμετρία της Φύσης. Περισσότερα σε σχετικό άρθρο του Ιδρύματος Ευγενίδου: Emmy Noether, η μαθηματικός που καθόρισε την εξέλιξη της σύγχρονης Φυσικής.

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής