Αναπάντητο ερώτημα στο Πρόβλημα 4.64

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Αναπάντητο ερώτημα στο Πρόβλημα 4.64

Γιατί μας ενδιαφέρει: Γιατί στα άκρα ενός τεντωμένου νήματος ασκούνται δυνάμεις ίσου μέτρου ακόμη και όταν το νήμα δεν είναι ευθύγραμμο;

Στο Σχήμα φαίνεται ένα σφαιρίδιο που εκτελεί οριζόντια, ομαλή κυκλική κίνηση. Το σφαιρίδιο είναι δεμένο στο ένα άκρο νήματος, το οποίο περνάει από τον κατακόρυφο σωλήνα ΚΛ. Ορισμένη στιγμή τραβάμε το κάτω άκρο του νήματος ασκώντας κατακόρυφη δύναμη $\vec{F}$ . Συγχρόνως στο σφαιρίδιο ασκείται από το νήμα οριζόντια δύναμη $\vec{F'}$ . Να αποδείξετε ότι για τα μέτρα των δυνάμεων ισχύει: $F'=F$ .

Να θεωρήσετε ότι το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό, σ’ όλη τη διάρκεια του φαινομένου είναι οριζόντιο και δεν υπάρχουν τριβές μεταξύ του νήματος και του σωλήνα.

Απάντηση

Αυξάνοντας το μέτρο της $\vec{F}$ το κάτω άκρο του νήματος μετατοπίζεται. Άρα στο σύστημα νήμα-σφαιρίδιο εκτελείται έργο και από το ΘΜΚΕ προκύπτει:

$W_F=\Delta K_\nu+\Delta K_\sigma$

όπου $W_F$ είναι το έργο της $\vec{F}$ , $\Delta K_\nu$ είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του νήματος και $\Delta K_\sigma$ είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σφαιριδίου. Δύναμη $\vec{N}$ ασκείται επίσης στο τμήμα του νήματος που έρχεται σε επαφή με το χείλος του σωλήνα. Ωστόσο επειδή αυτή η δύναμη είναι κάθετη σε αυτό το τμήμα του νήματος, είναι κάθετη και στη μετατόπισή του. Άρα αυτή η δύναμη δεν εκτελεί έργο.

Επειδή η μάζα του νήματος είναι αμελητέα, η κινητική ενέργειά του είναι επίσης αμελητέα (αναλυτική απόδειξη υπάρχει στο Παράρτημα) και γι’ αυτό από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι πρακτικά ισχύει:

$W_F=\Delta K_\sigma$

Εφαρμόζοντας το ΘΜΚΕ για το σφαιρίδιο προκύπτει:

$W_{F'}=\Delta K_\sigma$

όπου $W_{F'}$ είναι το έργο της δύναμης $\vec{F'}$ που ασκείται από το νήμα στο σφαιρίδιο.

Συγκρίνοντας μεταξύ τους τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι πρακτικά ισχύει:

$W_F=W_{F'}\,\,\,\,(1)$

Το σφαιρίδιο εκτελεί σύνθετη κίνηση: μετατοπίζεται κατά μήκος διεύθυνσης του νήματος και συγχρόνως κάθετα σε αυτή. Ωστόσο επειδή η $\vec{F'}$ ασκείται μόνο κατά μήκος του νήματος το έργο της $W_{F'}$ οφείλεται μόνο στη μετατόπισή της κατά μήκος της διεύθυνσης του νήματος. Επιπλέον, επειδή το νήμα είναι μη εκτατό, η μετατόπιση του σφαιριδίου κατά μήκος του νήματος είναι ίση με τη μετατόπιση του κάτω άκρου του σκοινιού. Άρα η μετατόπιση της $\vec{F'}$ είναι ίση με τη μετατόπιση της $\vec{F}$ και επειδή τα έργα τους είναι πρακτικά ίσα μεταξύ τους, συμπεραίνουμε ότι και τα μέτρα των δυνάμεων είναι πρακτικά ίσα μεταξύ τους, δηλαδή $F=F'$ .

Παράρτημα Γιατί η κινητική ενέργεια του νήματος είναι πολύ μικρότερη από την κινητική ενέργεια του σφαιριδίου;

Επειδή μόνο το οριζόντιο τμήμα του νήματος περιστρέφεται η κινητική ενέργεια του νήματος είναι:

$K_\nu=\sum\frac{1}{2}\,\Delta m_i \,r^2_i\,\omega^2$

όπου $r_i$ η απόσταση της στοιχειώδους μάζας $\Delta m_i$ του οριζόντιου τμήματος του νήματος από το άξονα περιστροφής και $\omega$ είναι η γωνιακή ταχύτητα της στοιχειώδους μάζας, ως προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς.

Για το οριζόντιο τμήμα της χορδής μήκους $R$ ισχύει:

$r_i<R\Rightarrow$

$\frac{1}{2}\Delta m_i\,r^2_i\,\omega^2<\frac{1}{2}\Delta m_i\,R^2\,\omega^2\Rightarrow$

$\sum\frac{1}{2}\Delta m_i\,r^2_i\,\omega^2<\sum\frac{1}{2}\Delta m_i\,R^2\,\omega^2\Rightarrow$

$\sum\frac{1}{2}\Delta m_i\,r^2_i\,\omega^2<\frac{1}{2}R^2\,\omega^2\sum\Delta m_i\Rightarrow$

$\sum\frac{1}{2}\Delta m_i\,r^2_i\,\omega^2<\frac{1}{2}m_\nu\,R^2\,\omega^2\Rightarrow$

$K_\nu<\frac{1}{2}m_\nu\,R^2\,\omega^2\,\,\,(2)$

όπου $m_\nu$ είναι η μάζα του οριζόντιου τμήματος του νήματος.

Επειδή η μάζα του νήματος είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα του σφαιριδίου προκύπτει:

$m_\nu<<m_\sigma \Rightarrow$

$\frac{1}{2}m_\nu\,R^2\,\omega^2<< \frac{1}{2}m_\sigma\,R^2\,\omega^2\Rightarrow$

$\frac{1}{2}m_\nu\,R^2\,\omega^2<< K_\sigma$

Άρα λόγω της (2) συμπεραίνουμε ότι

$K_\nu<< K_\sigma$

δηλαδή η κινητική ενέργεια του νήματος είναι πολύ μικρότερη από την κινητική ενέργεια του σφαιριδίου.

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Απαντήσεις

inventive6414a1af8f

01/11/2025

ÎÎ¹Î±ÏÎ¯ Î´ÎµÎ½ ÏÎ®ÏÎ±ÏÎµ ÏÎ¿ ÎÏÎ³Î¿ ÏÎ·Ï F’ (ÏÎ·Ï ÏÎ¿Î½Î¿ÏÎ¼ÎµÎ½Î·Ï Î´ÏÎ½Î±Î¼Î·Ï) ÏÎµ Î±ÏÏÏ ÏÎ¿ ÎÎÎÎ; [image: image.png]

Φόρτωση…

Απάντηση
Ανδρέας Βαλαδάκης

01/11/2025

Για “inventive6414a1af8f”: Δυστυχώς το σχόλιο δεν φαίνεται καθαρά. Μπορείς να το ανεβάσεις πάλι ή να μου το στείλεις στο andreasvaladakis@gmail.com. Σε ευχαριστώ.

Φόρτωση…

Απάντηση

Αναπάντητο ερώτημα στο Πρόβλημα 4.64

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Απαντήσεις

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής