Μια απλή κυματοσυνάρτηση

Γιατί μας ενδιαφέρει: Τα γενικά χαρακτηριστικά των κυματοσυναρτήσεων αποκαλύπτονται με ένα απλό παράδειγμα.

Στο Σχήμα φαίνεται η γραφική παράταση μιας υποθετικής κυματοσυνάρτησης, τη χρονική στιγμή $t$ . Ο τύπος της συνάρτησης είναι:

$\Psi = 0$ , για $x\leq 0$ , για $x = L/2$ και $x \geq L$
$\Psi =\Psi_0$ , για $0<x < L/2$
$\Psi = -\Psi_0 /2$ , για $L/2<x<L$

Aπό αυτή προκύπτει η πιθανότητα, τη χρονική στιγμή $t$ , να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο στη θέση $x$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) Η πιθανότητα να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο σε μια θέση στο διάστημα $0 \leq x \leq L/2$ είναι $\Pi_1 = \Psi^2_0\, \frac{L}{2}$

(β) Η πιθανότητα να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο σε μια θέση στο διάστημα $L/2 \leq x \leq L$ είναι $\Pi_2 =\Psi^2_0\, \frac{L}{8}$ .

(γ) $\Psi_0 = \sqrt{\frac{8}{5L}}$ .

Απαντήσεις

(α) Aν ορίσουμε ένα στοιχειώδες διάστημα $dx$ γύρω από μια θέση $x$ , το γινόμενο $|\Psi(x)|^2 dx$ δίνει την πιθανότητα να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο μέσα σε αυτό το συγκεκριμένο, στοιχειώδες διάστημα, τη δεδομένη χρονική στιγμή.

Αν χωρίσουμε το διάστημα $0 \leq x \leq L/2$ σε στοιχειώδη διαστήματα $dx$ , η πιθανότητα τη χρονική στιγμή $t$ να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο σε μια θέση στο διάστημα $0 \leq x \leq L/2$ , είναι ίση με το άθροισμα των στοιχειωδών πιθανοτήτων $|\Psi|^2 dx$ , σε όλο αυτό το διάστημα. Δηλαδή: