Φθίνουσα ταλάντωση στερεού

Γιατί μας ενδιαφέρει: Η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος. Όταν οι διαστάσεις ενός σώματος είναι αμελητέες, θεωρούμε το σώμα ως υλικό σημείο. Άρα δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ένα υλικό σημείο εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση.

Στο Σχήμα φαίνεται ένα στερεό σώμα που βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Το σώμα είναι στερεωμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο, συνεχώς ακίνητο τοίχωμα. Το σώμα κινείται σε κάποιο μέσο, και για κάθε τιμή $v$ της ταχύτητας του σώματος το μέσο ασκεί δύναμη $F = -bv$ στο σώμα. $b$ είναι μια ποσότητα που εξαρτάται από τις από τις ιδιότητες του μέσου, καθώς και από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος. Όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα διέρχονται από το κέντρο μάζας του. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Να αποδείξετε ότι η μηχανική ενέργεια $E_{\mu}$ του σώματος μεταβάλλεται με ρυθμό: $\frac{dE_{\mu}}{dt}=-bv^2$ .

Απάντηση

Στο σώμα ασκείται το βάρος του, η κάθετη δύναμη από το οριζόντιο επίπεδο, η δύναμη από το ελατήριο και, όταν το σώμα κινείται, η $F$ . Επειδή αυτές οι δυνάμεις διέρχονται από το κέντρο μάζας του σώματος, το σώμα εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση.

Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργεια για το σώμα, μεταξύ δύο τυχαίων θέσεων του σώματος:

$W_w+W_N+W_{\epsilon \lambda}+W_F=\Delta K$ $%$ (1)

όπου $W_w$ και $W_N$ είναι το έργο του βάρους και της κάθετης δύναμης αντίστοιχα. $W_{\epsilon \lambda}$ και $K$ είναι το έργο του ελατηρίου είναι η κινητική ενέργεια του σώματος αντίστοιχα.

Επειδή το βάρος και η κάθετη δύναμη διευθύνονται συνεχώς κάθετα στη μετατόπιση, το έργο τους είναι μηδενικό. Για το έργο της δύναμης του ελατηρίου ισχύει: $W_{\epsilon \lambda} = -\Delta U$ , όπου $U$ είναι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. Άρα από την (1) προκύπτει: