Μη μηδενικό έργο της κάθετης δύναμης σε πλάγιο επίπεδο

Γιατί μας ενδιαφέρει Για να διαπιστώσουμε αν μια δύναμη εκτελεί έργο, ελέγχουμε αν το σημείο εφαρμογής της μετατοπίζεται ως προς το έδαφος ή μένει ακίνητο ως προς αυτό και όχι ως προς οποιοδήποτε τυχαίο σώμα. Εκτός κι αν παρατηρούμε την κίνηση από το Διάστημα.

Στο Σχήμα φαίνεται ένα σώμα $\Sigma_1$ που βρίσκεται πάνω σε ένα σώμα $\Sigma_2$ , το οποίο έχει τη μορφή σφήνας. Τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες. Μεταξύ των δύο σωμάτων καθώς και μεταξύ του σώματος $\Sigma_2$ και του δαπέδου δεν υπάρχουν τριβές. Αν αφήσουμε ελεύθερο το $\Sigma_1$ θα κινηθεί κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου. Συγχρόνως το $\Sigma_2$ θα κινηθεί προς τα δεξιά, πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. Το πλάγιο επίπεδο σχηματίζει γωνία $45 ^\circ$ με την οριζόντια διεύθυνση.

(α) Να αποδείξετε ότι $v_{1x} = v_2$ , όπου $v_{1x}$ είναι τo μέτρο της οριζόντιας συνιστώσας της ταχύτητας του $\Sigma_1$ και $v_2$ είναι το μέτρο της ταχύτητας του $\Sigma_2$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $v_{1y} = 2 v_{1x}$ , όπου $v_{1y}$ είναι το μέτρο της κατακόρυφης συνιστώσας της ταχύτητας του $\Sigma_1$ .

(γ) Να αποδείξετε ότι $K_2 = \frac{1}{5}K_1$ , όπου $K_1$ και $K_2$ είναι η κινητική ενέργεια του $\Sigma_1$ και του $\Sigma_2$ αντίστοιχα.

(δ) Να αποδείξετε ότι το έργο της κάθετης δύναμης $\vec{N}$ που ασκείται από το πλάγιο επίπεδο στο $\Sigma_1$ είναι:

$W_N =-\frac{1}{6}\, \Delta U_1$

όπου $\Delta U_1$ η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του $\Sigma_1$ .

Απαντήσεις

Με λίγα λόγια Αν και η $\vec{N}$ είναι συνεχώς κάθετη στο πλάγιο επίπεδο, για τον υπολογισμό του έργου της θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της ως προς το έδαφος. Το σημείο εφαρμογής της $\vec{N}$ βρίσκεται πάνω στο $\Sigma_1$ , του οποίου η κίνησή του ως προς το έδαφος είναι σύνθετη: Το σώμα ολισθαίνει πάνω στο πλάγιο επίπεδο και συγχρόνως το πλάγιο επίπεδο κινείται προς τα δεξιά. Αποτέλεσμα: το σώμα κινείται κατά μήκος του ΑΒ, όπως φαίνεται στο Σχήμα και γι’ αυτό η $\vec{N}$ δεν είναι κάθετη στο ΑΒ. Άρα το έργο της δεν είναι μηδενικό.

(α) Αναλύουμε την κίνηση του σώματος σε μία κίνηση κατά μήκος του οριζόντιου άξονα και σε μια κίνηση κατά μήκος του κατακόρυφου.

Στο σύστημα που αποτελείται από το σώμα και τη σφήνα δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις κατά μήκος του οριζόντιου άξονα. Άρα για το μέτρο των προβολών των ορμών των σωμάτων στον οριζόντιο άξονα ισχύει:

$0 = -mv_{1x}+mv_2 \Rightarrow$

$\boxed{v_2=v_{1x}}$ (1),

(β) Από την (1) προκύπτει

$\Delta x_1 = \Delta x_2$ (2)

όπου $\Delta x_1$ και $\Delta x_2$ είναι τo μέτρo της μετατόπισης του $\Sigma_1$ και του $\Sigma_2$ αντίστοιχα, στο ίδιο χρονικό διάστημα.

Επίσης από το Σχήμα και την (1) προκύπτει γεωμετρικά $\Delta y_1 =2 \Delta x_1$ . Άρα:

$\boxed{ v_{1y} = 2 v_{1x}}$ (3)

(γ) Από την (1) προκύπτει:

$\frac{1}{2}mv^2_2=\frac{1}{2}mv^2_{1x} \Rightarrow$

$K_2 = \frac{1}{2}mv^2_{1x}$ (4)

Επειδή $K_1 = \frac{1}{2}mv^2_{1x}+\frac{1}{2}mv^2_{1y}$ , λόγω της (3) προκύπτει:

$K_1 = \frac{1}{2}mv^2_{1x}+\frac{1}{2}m(2v_{1x})^2\Rightarrow$

$K_1 = 5\frac{1}{2}mv^2_{1x}\,\,\,\,\,(5)$

Άρα από την (4) και την (5) παίρνουμε:

$\boxed{K_2 =\frac{1}{5}K_1} \,\,\,\,\,(6)$

(δ) Εφαρμόζουμε την ΑΔΕ για το σύστημα των δύο σωμάτων μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης του $\Sigma_1$ . Στο συγκεκριμένο σύστημα ασκούνται τρεις εξωτερικές δυνάμεις: Τα βάρη των σωμάτων και η κάθετη δύναμη από το οριζόντιο δάπεδο στη σφήνα. Ωστόσο, επειδή η σφήνα κινείται οριζόντια, το έργο του βάρους της και της κάθετης δύναμης είναι μηδενικό. Άρα προκύπτει:

$\Delta U_1=K_1+K_2$

και λόγω της (6) παίρνουμε:

$\Delta U_1 = \frac{6}{5}K_1 \Rightarrow$

$K_1 =\frac{5}{6}\,\Delta U_1\,\,\,\,\,(7)$

Εφαρμόζουμε την ΑΔΕ για το $\Sigma_1$ μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης του:

$W_N+\Delta U_1 = K_1 \Rightarrow$

και λόγω της (7) προκύπτει τελικά:

$W_N+\Delta U_1=\frac{5}{6}\, \Delta U_1\Rightarrow$

$\boxed{W_N = - \frac{1}{6}\, \Delta U_1}$

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Πρόσφατα

Μη μηδενικό έργο της κάθετης δύναμης σε πλάγιο επίπεδο

Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής

Discover more from Πρότυπα Θέματα Φυσικής