Κέντρο μάζας: το Εργαλείο!

Γιατί μας ενδιαφέρει Κατακόρυφη βολή ταλαντωτή: Το κέντρο μάζας είναι η πυξίδα για να μη χανόμαστε στην πολυπλοκότητα.

Στην Εικόνα φαίνονται δύο πανομοιότυπα σώματα συνδεδεμένα μεταξύ τους με κατακόρυφο ελατήριο. Αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του και τα σώματα είναι ακίνητα. Ορισμένη στιγμή το $\Sigma_1$ εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου $v_0$ . Τη χρονική στιγμή $t_{\alpha\nu}$ το $\Sigma_1$ φθάνει στο μέγιστο ύψος του. Πόση είναι τότε η ταχύτητα του $\Sigma_2$ ;

Απάντηση

Προσδιορισμός της κίνησης του κέντρου μάζας

Το κέντρο μάζας ομογενών και συμμετρικών σωμάτων συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους. Επειδή τα σώματα είναι πανομοιότυπα το σύστημα των δύο σωμάτων είναι συμμετρικό. Άρα το κέντρο μάζας του συστήματος βρίσκεται στο μέσο της απόστασης μεταξύ τους.

Όπως φαίνεται στην Εικόνα, σε μια τυχαία χρονική στιγμή η θέση του $\Sigma_1$ είναι $x_1$ και του $\Sigma_2$ είναι $x_2$ . Άρα, όπως επίσης φαίνεται στην Εικόνα, η θέση του κέντρου μάζας θα είναι:

$x_{cm} = \frac{x_1+x_2}{2}$

Από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι:

$v_{cm}=\frac{v_1+v_2}{2}\,\,\,\,(1)$

όπου $v_1$ και $v_2$ είναι οι ταχύτητες του $\Sigma_1$ και του $\Sigma_2$ αντίστοιχα.

Το κέντρο μάζας κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα $m_1+m_2$ του συστήματος, αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα. Στο σύστημα ασκούνται τα βάρη $w_1$ και $w_2$ των σωμάτων καθώς και οι δυνάμεις από το ελατήριο. Λόγω του 3ου νόμου του Νεύτωνα, οι δυνάμεις από το ελατήριο αλληλοεξουδετερώνονται με αποτέλεσμα η κίνηση του κέντρου μάζας να εξαρτάται μόνο από τα βάρη των σωμάτων. Για το κέντρο μάζας λοιπόν από το 2ο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει:

$w_1+w_2=(m_1+m_2)\,a_{cm}\Rightarrow$

$a_{cm}=\frac{w_1+w_2}{m_1+m_2}$

Επειδή τα σώματα είναι πανομοιότυπα, ισχύει $w_1=w_2$ και $m_1=m_2$ και γι’ αυτό από τη προηγούμενη σχέση προκύπτει: $a_{cm}=g$ όπου $g$ η επιτάχυνση της βαρύτητας.

Επειδή η αρχική ταχύτητα του $\Sigma_1$ ήταν $v_0$ και η αρχική ταχύτητα του $\Sigma_2$ ήταν μηδενική, από την (1) προκύπτει ότι η αρχική ταχύτητα του κέντρου μάζας ήταν: $\frac{v_0}{2}$

Άρα το κέντρο μάζας κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα $\frac{v_0}{2}$ και επιτάχυνση (“επιβράδυνση”) $g$ . Συνεπώς τη χρονική στιγμή $t$ η ταχύτητά του θα είναι: