Οι γέφυρες δεν καταστρέφονται λόγω συντονισμού

Γιατί μας ενδιαφέρει Η εξαναγκασμένη ταλάντωση ορίζεται σε ένα σύστημα που αποτελείται από ένα ελατήριο και ένα σώμα (υλικό σημείο). Η γέφυρα δεν είναι ένα τέτοιο σύστημα: Είναι ελαστικό μέσο και γι’ αυτό συμπεριφέρεται σαν χορδή.

Μια ομάδα ανθρώπων κινείται με συγχρονισμένο βηματισμό έτσι ώστε κάθε 0,5 s κάθε πόδι να χτυπά το έδαφος.

Κάποια στιγμή η ομάδα φθάνει σε γέφυρα μήκους 200 m, που στηρίζεται στα δύο άκρα της. Η γέφυρα είναι δυνατό να συμπεριφερθεί σαν χορδή και να διαδοθούν σε αυτή εγκάρσια κύματα με ταχύτητα $v=100\,$ m/s.

Αν οι άνθρωποι συνεχίσουν να βαδίζουν συγχρονισμένα πάνω στη γέφυρα, λόγω του συγχρονισμένου χτύπου των ποδιών τους, θεωρούμε ότι δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα και η συχνότητα των κυμάτων είναι ίση με τη συχνότητα με την οποία τα πόδια των ανθρώπων χτυπούν το οδόστρωμα της γέφυρας. Να προσδιορίσετε τα χαρακτηριστικά της μορφής των κυμάτων, που δημιουργούνται στη γέφυρα.

Απάντηση

Επειδή κάθε 0,5 s κάθε πόδι χτυπά το έδαφος, το φαινόμενο είναι περιοδικό με περίοδο $T=0,5$ s. Άρα η αντίστοιχη συχνότητα είναι: $f=\frac{1}{T}= 2$ Hz.

Επειδή η γέφυρα συμπεριφέρεται σαν χορδή και λόγω του χτύπου των ποδιών διαδίδονται σε αυτή αρμονικά κύματα με συχνότητα ίση με τη συχνότητα που οι βαδιστές χτυπούν το έδαφος, για το μήκος κύματος θα έχουμε:

$v = \lambda\, f \Rightarrow \lambda = \frac{v}{f} =\frac{100}{2}= 50\, m$

Επειδή τα άκρα της γέφυρας είναι στερεωμένα, στη γέφυρα δημιουργούνται στάσιμα κύματα, με δεσμούς στα άκρα της. Σε κάθε στάσιμο κύμα η απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε διαδοχικών δεσμών είναι $\frac{\lambda}{2}$ . Άρα η απόσταση μεταξύ διαδοχικών δεσμών στη γέφυρα είναι: $\frac{50}{2} = 25\,m$ . Επειδή μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών υπάρχει μία κοιλία, συνολικά υπάρχουν $\frac{200}{25}=8$ κοιλίες.